これどうやって計算するか覚えてる？「リレーのメンバーは5人。走る順番のパターンは何通り？」→20秒でチャレンジ

パターン数を正確に数えるスキルは、確率の問題の基礎になる重要なものです。

今回はよく出題される「人を並べる」タイプの問題にチャレンジしてみましょう。

効率よくパターン数を数える方法を考えてみてください。

問題

リレーのメンバーが5人のとき、走る順番のパターンは何通りありますか？

※制限時間は20秒です。

解答

正解は、「120通り」です。

短時間に効率よく、そして正確にパターン数を数えるには、どうしたらよいのでしょうか？

次の「ポイント」で、やり方を確認してみましょう。

ポイント

この問題のポイントは、「樹形図をイメージし、計算で答えを出すこと」です。

樹形図を実際に描いてパターン数を求める方法もありますが、今回のように走るメンバーが多いときは、樹形図の枝の数もかなり多くなります。制限時間も短い中、樹形図を完璧に仕上げてから答えようとするのは、得策ではありません。

そこで、樹形図の概要だけをイメージし、枝分かれしていくパターンの規則性を見抜くようにします。すると、枝の数を計算で求めることができますよ。

まず、5人にA、B、C、D、Eと名前を付けておき、最初に走る人について考えましょう。

一番目に走る人を選ぶパターン数は5パターンです。仮に一番目に走る人にAさんを選んだ場合、二番目に走る人はAさん以外になるので、B～Eさんのうちの誰かになります。つまり4パターンに分かれるわけです。

また、二番目に走る人をBさんとしたとき、三番目に走る人はC、D、Eさんの3パターンに分かれます。三番目に走る人にCさんを選んだとき、四番目に走る人はDさんかEさんの2パターンに分かれます。四番目にDさんを選んだとき、五番目に走る人は残ったEさんなので最後は1パターンしかありません。

この枝分かれのパターンには、規則性があります。一人選ぶごとに、次の選択肢のパターン数が4、3、2、1と一つずつ減っていくことです。

そこで、次のように考えることができます。

一番目に走る人は、5人のうちだれを選んでもよいので、5つのパターンがあります。二番目に走る人は、一番目に走る人「以外」から選ぶ必要があるので、4つのパターンがあります。

同じく三番目に走る人は、3つのパターン、四番目に走る人は2つのパターン、五番目に走る人は（今まで選ばれていない人なので）1つのパターンがあります。

このとき、最初の5つのパターンそれぞれに、4つのパターン、3つのパターン、2つのパターン、1つのパターンがそれぞれ枝になって分岐している様子をイメージしてください。このイメージから、枝分かれの全パターン数は、次の式で求めることができます。

5×4×3×2×1=120

これで答えが出ましたね。

まとめ

今回のように、異なるものn個を順番に並べていくパターン数は、n×(n−1)×(n−2)×...×1という式で求めることができます。

これは難しい言葉で言えば、「順列」と呼ばれる分野の問題で、詳しくは高校数学で学習します。一見難しく見えるかもしれませんが、その根本にあるのは「特定のパターンが繰り返される樹形図の省略」です。

興味を持った人は、ぜひほかの順列問題にもチャレンジしてみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

---

---

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

スピード勝負！他の問題にも挑戦しよう！