大人が意外と解けない数学「x^2-8x+16」→因数分解すると？

展開・因数分解は、中学校で学習する重要な計算の一つです。

公式を覚えることも大切ですが、それぞれの公式がどのような考え方で成り立っているのかを理解すると、応用問題にも対応しやすくなります。

今回は、因数分解の基本問題に挑戦してみましょう。

問題

次の式を因数分解しなさい。
x^2-8x+16

因数分解では、「積が16、和が-8」となる二つの数を見つけることがポイントです。

まずは、自分で答えを考えてみましょう。

解説

今回の問題の答えは、「(x-4)^2」です。

それでは、どのように求めるのかを確認していきます。

因数分解でよく利用する公式は、次の形です。

x^2+(a+b)x+ab
=(x+a)(x+b)

今回の式は「x^2-8x+16」なので、

a+b=-8
ab=16

となる2つの数を探します。

まず、「積が16」となる整数の組み合わせを書き出してみましょう。

1×16
2×8
4×4
(-1)×(-16)
(-2)×(-8)
(-4)×(-4)

この中で、「和が-8」となるのは「-4と-4」です。

したがって、

x^2-8x+16
=(x-4)(x-4)

と因数分解できます。

さらに、「(x-4)」が2回掛けられているので、累乗を使って表すと、

x^2-8x+16
=(x-4)(x-4)
=(x-4)^2

となります。

因数分解の公式として以下のものをはじめに紹介しました。

【1】 x^2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)

しかし今回の問題は、実は次の公式があてはまる形の式です。

【2】 x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2

教科書やテキストなどでは、それぞれ別のものとして紹介されることが多い公式ですが、【2】は実際には【1】からも導けますね。

それぞれの意味をきちんと理解していれば、公式をいくつも丸暗記する必要はありませんね。

まとめ

因数分解では、積と和の関係から二つの数を見つけることが基本です。

また、同じ式が二回掛けられている場合は、累乗を使って簡潔に表します。

公式を丸暗記するだけでなく、意味を理解しながら学習すると、さまざまな問題に対応できるようになるでしょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法を持つものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」

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