工夫して10秒で計算してみて！「−199÷(−199)÷(−199)」→暗算できる？

日常で計算する機会がめったにない負の数、計算ルールをすっかり忘れてしまっているという人も多いのではないでしょうか。

そんな人にとって今回の問題は、難しく見えるかもしれませんが…。実は、小学校レベルの知識を応用して答えを出すことができる問題です。

どうやって計算したらよいか、考えてみましょう。

問題

次の計算を暗算でしなさい。
−199÷(−199)÷(−199)

※制限時間は10秒です。

正解は、「−1/199」です。

「桁が大きくて制限時間内に割り算できない」と思っていた人にとっては、意外な答えだったかもしれませんね。

この問題の考え方は、次の「ポイント」で紹介していきます。ぜひご覧ください。

この問題のポイントは、「割り算を分数形式で考えること」です。

問題の式は「−199」が繰り返し登場する割り算です。このような場合は分数形式で割り算をとらえると、計算が簡単になることがあります。

まず、整数は分母1の分数になるので、式を次のように変形します。

−199÷(−199)÷(−199)
=−199/1÷(−199)/1÷(−199)/1

分数の割り算では割る数の逆数（分子と分母を逆にした分数）を掛けます。

−199/1÷(−199)/1÷(−199)/1
=−199/1×1/(−199)×1/(−199)

掛け算では、分子どうし、分母どうしを掛け合わせます。

−199/1×1/(−199)×1/(−199)
=(−199×1×1)/{1×(−199)×(−199)}

ここで思い出してほしいのが、「約分」の仕組みです。

分数の掛け算では、掛け算をする前に、分子と分母を同じ数で割って約分してもよいのでした。この式には、分子と分母に(−199)がありますので、どちらにも÷(−199)をして1にしてしまいます。

負の数の割り算が分からないと感じるかもしれませんが、0を除いて、同じ数を同じ数で割った答えは必ず1になります。

A÷A=1（A≠0）
※÷0は定義されていないため

これはAが負の数でも同じですから、「(−199)÷(−199)=1」となります。

(−199×1×1)/{1×(−199)×(−199)}
={−199÷(−199)×1×1}/{1×(−199)÷(−199)×(−199)}
=(1×1×1)/{1×1×(−199)}

分母の計算は「1×1×(−199)=−199」になります（1×A=A）。さらに、分子は1ですから、答えは「1/(−199)=−1/199」となります。

(1×1×1)/{1×1×(−199)}
=1/(−199)
=−1/199 ※マイナス記号は分子、分母につけても意味は変わりませんが、分数の前に付けて表すこと一般的です。

最後に、負の数の計算ルールを確認しておきましょう。

＜答えの符号の決め方（掛け算・割り算編）＞
・同符号どうしの掛け算、割り算の答え→正の数（+）になる
例：−1×(−1)=1、−1÷(−1)=1
・異符号どうしの掛け算、割り算の答え→負の数（−）になる
例：−1×1=−1、−1÷1=−1

このルールを元に今回の問題を見てみると、最初の割り算は「負の数÷負の数」で答えが正の数になり、次の割り算は「正の数÷負の数」で答えが負の数になることが分かります。

−199÷(−199)÷(−199) ←負の数÷負の数で答えは正の数
=1÷(−199) ←正の数÷負の数で答えは負の数
=−1/199

先に出した答えの符号と一致しますね。

今回は、同じ数の割り算という式の特徴を使い、割り算を分数にして計算する方法を紹介しました。

割り算が分数に変形できることを覚えておくと、一見複雑な割り算でも瞬時に答えが出る場合があります。今回紹介した方法をよりシンプルにしたものが、以下になります。

a÷b
=a/b

割り算は、割られる数を分子、割る数を分母にした分数に変換できます。aやbが負の数であっても同じようにできますよ。

割り算を分数に変換する方法は、いろいろな場面で使えるので、ぜひ覚えてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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