大人が意外と解けない算数「16チームでトーナメント戦」→全部で何試合？

トーナメント戦は、スポーツ大会などでよく使われる対戦方式です。

1試合ごとに負けたチームが一つずつ敗退し、最後まで勝ち残った1チームが優勝します。

全試合数を考えるときは、「何チームを敗退させる必要があるか」に注目すると分かりやすくなります。

問題

16チームでトーナメント戦を行います。優勝チームが決まるまでに、全部で何試合行われますか。
※一度負けたチームは再度試合を行わないものとする。（3位決定戦などは行わない）

1試合行われると、何チームが敗退するのかを考えてみましょう。

【条件・注意事項】 
・引き分けはなく、必ず1試合ごとに勝敗が決まるものとします。
・すべてのチームが第1回戦から出場します（シード権・不戦勝はありません）。
・一度負けたチームは即敗退となります（3位決定戦や敗者復活戦などは行いません）。

解説

今回の問題の答えは「15試合」です。

トーナメント戦では、1試合が行われると、負けた1チームが敗退します。

16チームの中から優勝する1チームを決めるためには、優勝するチーム以外の15チームが敗退しなければなりません。

1試合ごとに1チームが敗退するので、15チームが敗退するためには15試合必要です。

したがって、全部で「15試合」行われます。

（別解）ラウンドごとに試合数を数える方法

各ラウンドで行われる試合数を足して求めることもできます。

最初のラウンドでは、16チームが2チームずつ対戦するので、

16÷2=8試合

が行われます。

勝ち残った8チームによる次のラウンドでは、

8÷2=4試合

が行われます。

さらに、

4÷2=2試合

が行われ、最後に残った2チームによる決勝戦では、

2÷2=1試合

が行われます。

すべてを足すと、

8+4+2+1=15

となります。

この方法でも、全部で「15試合」になることが分かります。

トーナメント戦の試合数の考え方

負けたチームがその時点で敗退するトーナメント戦では、1試合につき必ず1チームが敗退します。

例えば、8チームが参加する場合、優勝する1チーム以外の7チームを敗退させる必要があるため、7試合行われます。

同じように、20チームが参加する場合は19チームを敗退させる必要があるため、19試合です。

このように、トーナメント戦の全試合数は、

チーム数−1

で求めることができます。

まとめ

トーナメント戦では、1試合ごとに1チームが敗退します。

最後に1チームだけを残すため、「参加チーム数−1」で全試合数を求めることができます。

ラウンドごとの試合数を数える方法だけでなく、敗退するチーム数に注目すると、参加チーム数が多い場合でも簡単に求められます。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法を持つものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」

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