「この角度わかる？」1本の線で解ける【図形問題】

図形の問題は“ひらめき”が大切です。

一見すると簡単そうに見える図でも、意外と手が止まってしまうことがあります。しかし、そんな問題も、たった1本の補助線を引くだけで一気に解けることがあります。

その1本をどこに引くか――そこに図形問題の面白さがあります。

問題

次の図で、直線lと直線mが平行のとき、∠xの大きさを求めよ。

図形の角度を求める問題といえば、「三角形の内角の和は180度」や「四角形の内角の和は360°」といった公式を思い出す方も多いのではないでしょうか。

ところが今回の図には、三角形や四角形は見当たりません。あるのは、2本の平行線と“くの字型”に折れ曲がった線のみ。この図から∠xを求める必要があります。

ヒントは、1本の補助線です。どこかに線を1本加えるだけで、問題はぐっと解きやすくなります。

どこに補助線を引くべきか――そこが今回のポイントです。

 

 

さて、角度は求められたでしょうか。

答えは「61°」です。

解説

まず、補助線をどこに引くかを考えます。

三角形や四角形を作ろうと考えた方もいるかもしれませんが、今回は平行線の問題です。使うのは「平行線の性質」です。

2本の直線に別の1本の直線が交わってできる角のうち、同じ位置にある角を同位角、斜め向かいにある角を錯角といいます。そして、2直線が平行であるとき、同位角と錯角はそれぞれ等しくなります。

今回の図は途中で“くの字型”に折れ曲がっているため、そのままでは同位角や錯角を直接使うことができません。

そこで、折れ曲がった頂点を通るように、直線l、mと平行な線を1本引きます。

すると、求める∠xは2つの角に分かれます。上の角は同位角、下の角は錯角を利用して求められます。

上部は同位角より26°、下部は錯角より35°。

∠x＝26＋35＝61

したがって、∠xは61°です。

まとめ

今回は、同位角と錯角が等しくなるという平行線の性質を利用した図形問題でした。

最終的な計算自体はとてもシンプルです。だからこそ、補助線を引けるかどうかが最大のポイントになります。

冒頭で「図形の問題はひらめきが大切」とお伝えしましたが、それは決して特別な直感という意味ではありません。

平行線の性質を理解していれば、自然と補助線の位置も見えてきます。

知識とひらめきは、切り離せない関係にあるのです。

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監修：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」。

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