工夫して20秒で計算してみて！「4^6÷2^10」→20秒でチャレンジ

算数の問題はなんとなく計算できても、数学の分野になると計算方法をすっかり忘れてしまっている…。そんな大人は多いのではないでしょうか。

今回は、数学によく出てくる累乗の問題にチャレンジしてみましょう。

制限時間内に答えるにはどうしたらよいか考えてみてください。

問題

次の計算をしなさい。
4^6÷2^10

※制限時間は20秒です。

正解は、「4」です。

指数の大きな累乗の割り算、制限時間内に計算するのは厳しく感じたかもしれません。

次の「ポイント」では、この問題を簡単に計算するための工夫について紹介します。累乗とは、指数とは、という基本事項から解説していますので、問題の意味が全く分からなかったという人も、ぜひご覧ください。

この問題のポイントは、「4^6を2^■の形に変形すること」です。

まず、累乗の基本事項を三つおさらいしておきましょう。

1：累乗…同じ数を何個か掛け合わせた計算。掛け算の形に直して計算できる。
2：指数…累乗で何個掛け合わせるかを表した数。掛け合わせる数の右上に付けるのが一般的だが、^を使って表すこともある。
3：累乗の計算順序…（括弧のない）四則演算よりも優先して計算する。

例えば、2^3は「2を3個掛け合わせる」という意味の累乗です。指数は、^の後ろについている3です。

計算するときは掛け算の形に直して答えを出せます。

2^3
=2×2×2←2を3個掛け合わせる
=8

ここで改めて、今回の問題を見てみましょう。

4^6÷2^10

先に確認した基本事項の3より、累乗の計算順序は括弧なしの四則演算よりも優先されるので、この式は4^6と2^10を計算してから、割り算をすることになります。

しかし、4^6は「4を6個掛け合わせる」、2^10は「2を10個掛け合わせる」累乗です。この計算を掛け算に直してするには、あまりに時間がかかりすぎます。

そこで、次のように計算します。

まず、4^6を2^12という「2を掛け合わせる累乗の形」に直します。次に、割られる数と割る数の指数どうしを引き算します。

4^6÷2^10
=2^12÷2^10←2^▲÷2^■の形にする
=2^(12−10)←指数どうしを引き算する
=2^2
=2×2←2を2個掛け合わせる式
=4

これで、答えが求められました。

しかし、どうしてこのような形で答えが出るのか不思議な人もいるでしょう。

上の計算過程が正しい理由を知りたい人は、まず、割り算を分数の形で表してみてください。a÷b（b≠0）という割り算は、a/bという分数に直せますので、式を次のように変形します。

4^6÷2^10
=(4^6)/(2^10)
=(4×4×4×4×4×4)/(2×2×2×2×2×2×2×2×2×2)

分数は、分子と分母を同じ数で割ってもイコール関係が変わりません（約分）。分母には2を10個掛け合わせた式が並んでいるので、約分がしやすいように、4^6を2^●の形に直してみましょう。

4は2×2のことなので、

4×4×4×4×4×4（4を6個掛け合わせた式）=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2（2を12個掛け合わせた式）

と変換できます（これは4^6=2^12とした計算過程と一致しています）。

分子と分母が2の掛け算に変換されたら、約分します。分子には2が12個、分母には2が10個掛け合わされているので、約分すると分子には2を2個掛け合わせた計算のみが残ります（これは割り算を指数どうしの引き算2^(12−10)に変形した過程と一致しています）。

(4×4×4×4×4×4)/(2×2×2×2×2×2×2×2×2×2)
=(2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2)/(2×2×2×2×2×2×2×2×2×2)
=(2×2)/1
=4

これで、4^6÷2^10を2^(12−10)として計算してよい理由が分かったのではないでしょうか。

今回の問題で使った「指数を変形する過程」を一般化すると、次のような法則になります。

1：(a^r)^s=a^(r×s)
※a>0でrとsは有理数
2：a^m÷a^n=a^(m−n)
※a≠0でmとnは整数

1は、4^6を2^12に直すときに使えます（4^6=(2^2)^6=2^(2×6)=2^12）。2は、割り算を指数の引き算に変換するときに使えます（2^12÷2^10=2^(12−10)）。

この二つの法則は、指数法則と呼ばれるものの一種です。指数法則を使いこなせるようになると、指数の問題はかなり効率的に計算できるでしょう。ぜひ、身につけてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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