これどうやって計算するか覚えてる？「十一角形の内角の和は？」→正しく計算できる？

多角形の内角の和を求める公式、今でも覚えているでしょうか？

「すっかり忘れてしまった」という人は、ぜひ今回の問題にチャレンジしてみてください。

公式のもとになる考え方を知ることができますよ。

問題

十一角形の内角の和を求めなさい。

正解は、「1620°」です。

この問題は、十一角形を「ある形」に分割することで答えを求められます。

次のポイントで、どのように考え、計算すればよいのかを確認してみましょう。

この問題のポイントは、「十一角形を三角形に分割して考えること」です。

「三角形の内角の和は180°」だと決まっています。この三角形の内角の和の性質を利用して、十一角形の内角の和を求めていきます。

十一角形を三角形に分割する方法は、二通りあります。どちらの方法でも、同じ答えがでますよ。順番に見ていきましょう。

一つ目の方法は、次の図のように特定の頂点Aから他の頂点に線を引いて三角形を作るというものです。

このとき、Aの隣の二点に線を引いてしまうと三角形ができないので、この二点は除外します。

すると、三角形は11−2=9個できます。

上の図を見れば、この三角形9個すべての内角の和が十一角形の内角の和と一致するのが分かりますね。

よって、次のように計算すれば十一角形の内角の和を求めることができます。

180°×(11−2)
=180°×9←9個の三角形すべての内角の和
=1620°

もう一つの方法は、十一角形の内部の一点から、全頂点に向かって線を引くというものです。

この方法では、三角形が頂点の数と同じ11個できます。この三角形の内角の和の合計は、180°×11で求められます。

180°×11=1980°

ただし、内部の一点に集まっている三角形の内角は十一角形の内角には含まれませんので、1980°から除外する必要があります。

次の図の通り、この除外する角度の合計は360°になります。

よって1980°から360°を引くと、十一角形の内角の和を求めることができます。

1980°−360°=1620°

今回の問題で紹介した考え方は、他の多角形の内角を求める際にも応用できます。

この考え方を一般化すると、次の「多角形の内角の和の公式」が出来上がります。

n角形（nは3以上の整数）の内角の和：180°×(n−2)

なぜ、nから2を引いているのかは、方法1の説明を読んだ人なら理解できるはずです。また、180°×(n−2)は180°×n−360°に変形できます。この360°を引く理由も、方法2の説明を読めば分かるでしょう。

ここで紹介した基本の考え方さえ理解していれば、公式を丸暗記する必要はありません。ぜひ、他の多角形の内角の和も同じ考え方で求めてみてください。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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