大人が意外とわからない算数「9の倍数はどれ？」→《12345、45678、78912》

「倍数」は小学校で習う内容ですが、算数や数学を学ぶ上でとても重要な考え方のひとつです。たとえば、ある数が何の倍数かが分かると、素因数分解がぐっと楽になります。

しかし、桁が大きくなると筆算をしないと倍数かどうか判断できません。今回は、9の倍数を簡単に見分ける方法を考えていきましょう。

問題

次の中から9の倍数を見つけなさい。
A. 12345
B. 45678
C. 78912

すべて五桁の数字です。地道にひとつずつ9で割っていけば正解できますが、かなり面倒ですよね。

ここでは、それ以外の方法で考えてみます。

答えは「C.78912」です。

ではどのように判定したのでしょうか。それは「各桁の数字の和が9の倍数であれば、その数自体も9の倍数である」という性質を使っています。このルールをもとに、実際に判定してみましょう。

A. 12345：各桁の数字の和は1+2+3+4+5=15
B. 45678：各桁の数字の和は4+5+6+7+8=30
C. 78912：各桁の数字の和は7+8+9+1+2=27

上記より、9で割れるのは各桁の数字の和が27になっているCが正解になるということですね。

性質さえ知っていれば簡単に解くことができました。

先ほどの性質ですが、これは簡単に証明することが可能です。例えば三桁の各桁の数をa、b、cとおくと、三桁の数は以下のように置くことができましょう。

100a+10b+c

この式を次のように変換すると、面白いことが分かります。

100a+10b+c
=(99a+a)+(9b+b)+c
=(99a+9b)+a+b+c
=9(11a+b)+a+b+c

この式から、「9(11a+b)」が9の倍数になることが分かるので、「a+b+c」が9の倍数なら、元の数も9の倍数になることがわかります。これは四桁以上でも同じように証明することができます。

「a+b+c」は各桁の数の和になるので、これで証明ができました。参考にしてみてください。

倍数に関する性質を勉強できたでしょうか。9の倍数以外にも3の倍数や4の倍数の性質もありますので、時間があれば調べてみるのもおもしろいですよ。

計算はたくさん演習を積んで、理解度を深めていくことがとても大事になってきます。他の記事にも計算問題がありますので、そちらもぜひチャレンジしてみましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：ニシケン
2年間、地方の学習塾に勤めて独立。現在はプロの家庭教師として働きながら、都内の難関私立中学や高校の予想問題や適性検査の執筆活動を行っている。どんな人が見てもわかりやすい解答解説作成を志す。

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