大人が意外と解けない算数「4チームで総当たり戦」→全部で何試合？

総当たり戦は、参加するすべてのチームがほかのチームと1回ずつ対戦する方式です。

トーナメント戦とは試合数の考え方が異なり、「何通りのチームの組み合わせがあるか」に注目します。

チームの組み合わせを重複なく数えることがポイントです。

問題

4チームで総当たり戦を行います。全部で何試合行われますか。
（総当たり戦では、すべてのチームが他のチームと1回ずつ対戦する）

対戦する2チームの組み合わせが何通りあるのかを考えてみましょう。

• 対戦形式： すべてのチームが、自分以外の他のチームと「1回ずつ」対戦します（ホーム＆アウェイなどの2回戦制ではありません）。
• 引き分けの扱い： 勝敗の結果に関わらず、対戦カードが1つ成立するごとに「1試合」とカウントします。

解説

今回の問題の答えは「6試合」です。

ここでは2つの解き方を紹介します。

地道に数える方法

4チームをA、B、C、Dとします。

Aが対戦する相手は、B・C・Dの3チームなので、3試合あります。

次にBについて考えます。

Aとの試合はすでに数えているので、新しく数えるのは、C・Dとの2試合です。

さらにCは、まだ数えていないDとの1試合があります。

したがって、

3+2+1=6

となります。

よって、全部で「6試合」です。

組み合わせを使って考える方法

総当たり戦では、2チームの組み合わせ一つにつき1試合が行われます。

4チームから対戦する2チームを選ぶ組み合わせは、

4×3÷2=6

となります。

この考え方は、下図のように表をまとめると分かりやすくなります。サッカーや野球など、スポーツの試合でこのような表が用いられることがありますね。

各チーム（4チーム）は、自分のチームを除く3チームと戦わなければいけません。

ただし、このままでは「A対B」と「B対A」のように同じ試合を2回ずつ数えています。そのため、最後に2で割る必要があります。

よって「4×3÷2」という計算で、試合数を求めることが可能です。

上の表では「◯が6か所」もしくは「×が6か所」というのが、すべての試合数「6試合」に対応しています。

総当たり戦では、このように対戦するチームの組み合わせを重複なく数えることが大切です。

まとめ

総当たり戦では、対戦する2チームの組み合わせ一つにつき1試合が行われます。

試合数を数えるときは、同じ組み合わせを重複して数えないことがポイントです。

チーム数が多くなっても、「異なる2チームを選ぶ組み合わせ」と考えることで全試合数を求められます。

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※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法を持つものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」

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