意外に間違える人が多いかも…？「(−5)^3」→正しく計算できる？

今回は、負の数の累乗問題にチャレンジしてみましょう。

負の数も累乗も日常ではあまり登場しませんから、計算方法を忘れてしまっている人も多いかもしれません。

この問題で、計算方法を復習してみませんか？

問題

次の計算をしなさい。
(−5)^3

解答

正解は、「−125」です。

負の数の累乗、正しく計算できたでしょうか？

次の「ポイント」では、「累乗の基本」から「負の数の累乗の特徴」までまとめて紹介しています。ぜひ、ご覧ください。

ポイント

この問題のポイントは、「指数」です。

まず指数とは何かについて、ざっとおさらいしておきましょう。

指数は、同じ数を何個か掛け合わせる累乗の計算で使われます。例えば累乗2^3では、3が指数になり、「2が3個掛け合わされている」という意味を表します。

※指数は本来掛け合わせる数の右上に小さく書きます。ただし、上付き文字が使えないテキストなどでは、^を使って指数を表すことがあります。この記事でも指数表現には^を使っています。

さて、今回、指数の3は負の数を囲った()の外側についています。

(−5)^3

この形であれば、()の中の負の数−5をまるごと3個掛け合わせるという意味になります。

実はこの時点で、答えが負の数になることは見えています。というのも、負の数を「奇数個」掛け合わせれば、答えは必ず負の数になるからです。

では、実際に計算してみましょう。(−5)^3は、−5が3個掛け合わされているという意味なので、掛け算に直して次のように計算できます。

(−5)^3
=(−5)×(−5)×(−5)←最初は負の数×負の数
=25×(−5)←次は正の数×負の数
=−125

掛け算のルール上、同符号どうしの掛け算の答えは正の数になり、異符号どうしの掛け算の答えは負の数になると決まっています。

よって、(−5)×(−5)は正の数になり、次の25×(−5)は負の数になります。

つまり、負の数の累乗を掛け算で計算する過程では、一つ数を掛けるごとに正負が入れ替わるのですね。

よって、負の数のペアができる指数が偶数個の負の数の累乗は必ず正の数になります。逆に負の数のペアを作ったとき、一つだけ負の数が余るパターン、つまり指数が奇数個の負の数の累乗は必ず負の数になります。

ちなみに、−5^3のように書かれた累乗では、5^3を計算した後−をつけます。よって、答えは必ず負の数になりますよ。

まとめ

今回の問題では、次のことが復習できました。

・負の数を囲った()の外側に指数が付いている→負の数を丸ごと掛け合わせる
・負の数の累乗で指数が奇数→答えは負の数

負の数も累乗も、計算方法に慣れてくれば、扱いやすくなるはずです。ぜひ、類問にもチャレンジしてみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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