これどうやって計算するか覚えてる？「5^3÷5^2」→10秒でチャレンジ

今回は、累乗同士の割り算にチャレンジしてみましょう。

基本の計算ルールに沿って答えを出してもよいですが、「あるポイント」に注目すればより簡単に計算できます。

さて、あなたはどんな方法で答えを出しますか？

問題

次の計算をしなさい。
5^3÷5^2

※制限時間は10秒です。

正解は、「5」です。

制限時間内に計算ができたでしょうか？

次の「ポイント」では、累乗の計算の基本ルールを復習しつつ、この問題をスピーディーに計算するための工夫についても紹介します。ぜひ、ご覧ください。

この問題のポイントは「5^●÷5^□の形を利用すること」です。

まず、累乗の基本の計算ルールから復習していきましょう。

累乗とは、同じ数を何個か掛け合わせた計算のことです。何個掛け合わせるかは、指数という数で表します。

指数は本来、掛け合わせる数の右上に小さく書きます。ただし、上付き文字が使えないテキストなどでは、^を使って指数を表すことがあります。本記事でも、指数表現には^を使っています。

同じ数を掛け合わせる計算なので、累乗は掛け算に直して計算ができます。

<例>
2^3←2を3個掛け合わせる計算
=2×2×2
=8

今回の問題に出てくる5^3は、掛け合わせる数が5で、指数は3です。同じく、5^2は掛け合わせる数が5で、指数は2です。この情報から、累乗を掛け算に直して計算してみましょう。

なお、累乗は括弧が付いていない四則演算よりも先に計算することが決まっています。よって、今回の問題は次のように計算ができます。

（先に累乗の計算をする）
5^3←5を3個掛け合わせる計算
=5×5×5
=125
5^2←5を2個掛け合わせる計算
=5×5
=25

5^3÷5^2
=125÷25←累乗の計算結果を代入
=5

これが基本の計算です。

ただし、今回の問題はもっと簡単に答えが出せます。

今回の問題では、累乗の計算をするとき「掛け合わせる数が同じ5」になっていました。

この形を利用して割り算を分数形式に直すと、面白いことが起こります。

5^3÷5^2
=5^3/5^2←割り算a÷bは分数a/bに直せる（b≠0の場合）
=(5×5×5)/(5×5)
=(5×1×1)/(1×1)←分子と分母を5で二回割って約分した
=5

途中の約分で5×5が消えてしまい、残ったのは5だけです。

このように考えれば、5を3個掛け合わせたり、2個掛け合わせたりする計算をしなくてもよいのです。結局5^3÷5^2は5^1に変形して計算できるということになりますね。

実は、「▲^●÷▲^□」の形をしている割り算は、指数の引き算をすると答えが出てくるのです。

▲^●÷▲^□
=▲^(●−□)
※▲≠0で、●と□は整数

この形を利用すると、今回の問題は次のように簡単に計算できます。

5^3÷5^2
=5^(3−2)←指数を引き算する
=5^1
=5

今回紹介した「▲^●÷▲^□=▲^(●−□)」（▲≠0で、●と□は整数）は、指数法則と呼ばれる法則の一種です。

累乗同士の割り算が指数の引き算になるのは一見不思議に見えますが、背景に約分の仕組みがあると考えると理解しやすくなりますよ。

指数法則をうまく使えば累乗の計算がとても速くなります。ぜひ、他の指数法則についても調べてみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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