これどうやって計算するか覚えてる？「xの角度は？」→正しく計算できる？

三角形の内角の問題には、様々なバリエーションがあります。

今回は「外角と内角が一つずつ分かっているタイプ」の問題にチャレンジしてみましょう。

どうやって計算すればよいのか、ぜひ考えてみてください。

問題

次の三角形の内角Xの角度を求めなさい。

正解は、「100°」です。

どのように計算すればよいのか、分かったでしょうか？

次の「ポイント」では、正解にたどり着くまでの考え方をステップごとに解説しています。ぜひ、ご覧ください。

この問題のポイントは、「二つ目の内角をどうやって求めるか」です。

実は、三角形の内角の和は必ず180°になると決まっています。

この知識を使うと、二つの内角が分かっている三角形のもう一つの内角は、計算で求められます。

例えば、内角が90°と30°の三角形のもう一つの内角?を求めるには、次のような計算をすればOKです。

90°+30°+?=180°
120°+?=180°
120°−120°+?=180°−120°←両辺から120°を引く
?=60°

さて、今回の問題を改めて見てみましょう。

この問題では、角度が分かっている内角は30°だけに見えます。しかし、130°という外角に注目すると、隠れている内角の角度が分かる仕組みになっています。

下の図を見てください。

外角130°とその隣にある内角Aを足すと、ちょうど180°になるのが分かりますね。

よって、Aは次の式で求められます。

A+130°=180°
A+130°−130°=180°−130°←両辺から130°を引く
A=50°

これで、三角形の内角のうち二つが分かりました。あとは、「三角形の内角の合計は180°」という性質を使ってXを求めるだけです。

X+50°+30°=180°
X+80°=180°
X+80°−80°=180°−80°←両辺から80°を引く
X=100°

この問題には、別解もあります。

まず、外角130°と隣り合う内角の角度をAとして、次の二つの式を作ります。

X+30°+A=180°←三角形の内角の和
130°+A=180°←外角と隣り合う内角の和

どちらも180°になるので、二つの式の左辺はイコール関係になります。

X+30°+A=130°+A

この式を、X=の形にします。

X+30°+A−A=130°+A−A←両辺からAを引く
X+30°=130°
X+30°−30°=130°−30°←両辺から30°を引く
X=100°

この形でも、100°の答えにたどり着けました。

なお「X+30°=130°」という式は、「三角形の外角は、その外角の隣にない二つの内角の和に等しい」ことを表しています。

この三角形の外角の性質については、どんな三角形でも成り立ちます。

この性質を使うと、「X+30°=130°だから、Xは100°」のように簡単に答えを求めることができます。

今回は、三角形の内角と外角の角度が一つずつ分かっている状態から、不明な内角の角度を求める問題にチャレンジしました。

三角形の内角の和は180°と決まっているため、三角形の角度が二つ分かっていれば、残りの内角の角度は計算で求められます。外角の角度が分かっている場合は、「180°−外角」の式で隣り合う内角の角度を求めましょう。

また、「三角形の外角は、その外角の隣にない二つの内角の和に等しい」という性質も覚えておくと便利です。この性質を知っていれば、今回の問題を見た時点で「X+30°=130°」という式を書けるようになるでしょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。