工夫して10秒で計算してみて！「(14/2081)÷(7/2081)」→暗算できる？

今回は、分母がとても大きい分数の割り算にチャレンジしてみましょう。

一見暗算ではとても答えが出せそうにないと感じるかもしれませんが、ひと工夫するだけで10秒で答えが出せる「簡単な問題」に早変わりしますよ。

どうやって計算したらよいか、ぜひ考えてみてください。

問題

次の計算を暗算でしなさい。
(14/2081)÷(7/2081)

※制限時間は10秒です。

正解は、「2」です。

式に登場した分数はかなりややこしい形をしていましたが、答えはシンプルな一桁の整数になりました。

このような答えになる理由は、次の「ポイント」を見ると分かります。

簡単に暗算をするための方法を知りたい人は、ぜひご覧ください。

この問題を暗算するためのポイントは、「分母が同じ数の割り算である点に注目すること」です。

今回の問題は、割られる数、割る数、どちらの分母も2081になっていますね。

(14/2081)÷(7/2081)

実は、分母が同じ数どうしの分数の割り算は、「分子どうしの割り算」をするだけで答えが出ます。

(14/2081)÷(7/2081)←割られる数と割る数の分母が2081で共通
=14÷7←分子どうしの割り算に変形
=2

14÷7はとても簡単なので、10秒以内という制限時間の中でも余裕で答えを出せそうですね。

しかし、どうしてこのような変形が可能なのでしょうか。

理由は、分数の割り算と掛け算の計算過程を確認すると分かります。

まず、分数の割り算では割る数の分子と分母を反対にした数（逆数）を掛けます。

(14/2081)÷(7/2081)
=(14/2081)×(2081/7)←割る数の逆数を掛ける

また、分数の掛け算では、分子どうし、分母どうしを掛け合わせます。

(14/2081)×(2081/7)
=(14×2081)/(2081×7)←分子どうし、分母どうしを掛ける

分数の掛け算では、約分できる数は、掛け算前に約分をすることができます。今回の問題でいえば、分子と分母を2081で割ることが可能ですよ。

(14×2081)/(2081×7)←分子と分母を2081で割る※下図参照
=(14×1)/(1×7)
=14/7

a/bはa÷bという割り算に直せます。よって、14/7は14÷7という割り算に変形できます。これは元の式の分子どうしの割り算と同じ式ですね。

14/7
=14÷7

こうしてみると、(14/2081)÷(7/2081)=14÷7が成り立つことが理解できるはずです。

※今回は「割られる数と割る数の分母が同じ場合、分子どうしを割り算すればよい」ことを説明するため、一度14/7の分数の形を作りました。しかし、掛け算の過程で14/7も約分してしまい、一気に答えを出す方法もあります。

(14×2081)/(2081×7)←分子と分母を2081と7で割る※下図参照
=(2×1)/(1×1)
=2/1
=2

分母が同じ分数どうしの割り算は、分子どうしの割り算に変形できます。

その理由は、割り算の過程で約分ができるからです。

a/b÷c/b（bは0以外の数）←割られる数と割る数で分母が同じb
=a/b×b/c
=(a×b)/(b×c)←分子と分母をbで割って約分できる
=a/c
=a÷c

a/b÷c/b=a÷cと変形できるなら、分母がどんなにややこしい数であっても、計算の難易度にはあまり関係がありません。分子どうしの割り算が簡単な形であれば、楽に暗算ができるでしょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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