工夫して10秒で計算してみて！「7^5÷7^4」→暗算できる？

累乗を効率的に計算するための「指数法則」は高校で勉強します。

高校数学というと難しく感じるかもしれませんが、基本の型さえ分かればこの法則を使うのは簡単です。

今回の問題を通して、指数法則の一部を学んでみませんか？

問題

次の計算を暗算でしなさい。
7^5÷7^4

※制限時間は10秒です。

正解は、「7」です。

累乗の意味や計算方法を知っている人でも、7^5と7^4をそのまま暗算するのは難しかったと思います。

そこで、次の「ポイント」で紹介する指数法則を使ってみましょう。

この問題のポイントは、「指数どうしを引き算すること」です。

今回の問題は、次のように計算ができます。

7^5÷7^4
=7^(5−4)←割られる数の指数−割る数の指数
=7^1
=7

この方法なら、煩わしい累乗の計算を軽減できます。

しかし、どうしてこのような方法で計算ができるのでしょうか。これからその理由を説明します。

まず累乗について復習しておきましょう。累乗とは、同じ数を何個か掛け合わせる計算のことです。累乗で何個掛け合わせるかを表すのが「指数」です。

指数は、本来掛け合わせる数の右上に小さく書きます。ただし、上付き文字が使えないテキストでは、^を使って指数を表すことがあります。この記事でも、指数は^を使って表します。

例えば2^3であれば、指数は3です。2^3は次のように掛け算に直して計算できます。

例：
2^3←指数は3なので2を3個掛け合わせるという意味
=2×2×2
=8

ただし、他の四則演算と累乗が一緒に登場する場合は、掛け算に直す際に注意が必要です。

というのも、累乗は普通の掛け算よりも計算の優先順位が高いからです。

<計算順序のルール>
次の順序で計算します。
1.括弧の中※括弧には()や{}などの種類があります。
2.累乗
3.掛け算・割り算
4.足し算・引き算

※同じ優先順位の計算がある場合は、左から計算します。

例えば、次のように式を変形して計算するのは間違いです。

<間違った変形例>
7^5÷7^4
=7×7×7×7×7÷7×7×7×7
=823543←誤答！

誤答の原因は、計算順序です。掛け算と割り算の計算順位は同じなので、二行目の形だと左から順に計算していくことになります。しかし、実際は累乗から先に計算しなくてはなりません。

<正しい計算過程>
7^5と7^4を先に計算する→答えの数どうしで割り算する

7^5
=7×7×7×7×7
=16807

7^4
=7×7×7×7
=2401

7^5÷7^4
=16807÷2401←累乗の計算結果を代入して計算
=7

これで正しい答えが出ました。とはいえ、7^5と7^4を暗算するのはとても大変です。そこで、7^5=A、7^4=Bとおいて、一度割り算を分数の形にしてみましょう。

7^5÷7^4
=A÷B
=A/B

※割り算は、割られる数/割る数という分数に直せます。

ここで、AとBを再び累乗に戻し、さらに掛け算に直します。

A/B
=7^5/7^4
=(7×7×7×7×7)/(7×7×7×7)

分数では、分子と分母を同じ数で割って約分ができます。

そこで、分子と分母を7で順番に割っていきましょう。分子には7が5つ、分母には7が4つあるので、最終的には分子の7だけが残りますね（以下画像参照）。

(7×7×7×7×7)/(7×7×7×7)
=(7×1×1×1×1)/(1×1×1×1)
=7/1
=7

これが、7^5÷7^4=7^(5−4)という式が成り立つ理由です。

「累乗どうしの割り算を指数の引き算に変形する方法」は「指数法則」と呼ばれる法則の一つです。

a≠0で、mとnが整数のとき
a^m÷a^n=a^(m−n)

なお、この法則は「同じ数（上の式ではa）の累乗」にしか使えない点に注意してください。例えば、9^3÷2^2には使えません。割られる数が9の累乗なのに対して、割る数は2の累乗だからです。

指数法則の背景に約分の仕組みがあると理解できていれば、どうして同じ数の累乗でないと法則が成り立たないかが分かるはずです。

指数法則には他にも種類があり、覚えておくと累乗の計算がとても楽になります。気になる人は、指数法則について調べてみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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