大人が意外と解けない数学「ルート29040」→根号内の数をできるだけ小さな整数にすると？

「2乗するとXになる正の数」は√Xで表されます。

このような数を「平方根」といい、根号（ルート）の中にある数は、場合によってはもっと小さく整理することができます。

「√4=2」「√9=3」のような簡単な例はすぐに求められますが、数が大きくなると少し工夫が必要になります。

今回は、そんな大きな数のルートを小さくする方法を考えてみましょう。

問題

根号内の数をできるだけ小さな整数にして表しなさい。
√29040

根号の中の数が大きな数なので、少し分かりにくくなっています。

どのように式変形をすれば良いでしょうか。

解説

今回の問題の答えは「44√15」です。

この答えを導くには、次のように計算をします。

29040を素因数分解すると
29040=2×2×2×2×3×5×11×11 なので、

√29040
=√(2^2)×√(2^2)×√3×√5×√(11^2)
=2×2×11×√(3×5)
=44√15

ポイントを順に解説します。

素因数分解

まずは、29040を素因数分解します。

素因数分解とは、整数を素数の掛け算で表すことなので、小さな素数で順に割り算を繰り返しましょう。

通常、以下のように割り算をします。

これにより、
29040を素因数分解すると
29040=2×2×2×2×3×5×11×11
ということが分かりました。

根号を外す

根号を用いて表された数は「2乗すると◯になる正の数」ということになります。

例えば、
√4=2（「二乗すると4になる正の数」は2）
√9=3（「二乗すると9になる正の数」は3）
√25=5（「二乗すると25になる正の数」は5）

√(a^2)=a（ただしaは正の数）

素因数分解をしたことによって、「根号を外すことができる部分」が分かります。

29040
=(2×2)×(2×2)×3×5×(11×11)

上記のように、二乗（同じものを二回掛け算）を作ると、この部分は根号を外すことが可能です。

√29040
=√(2×2)×√(2×2)×√3×√5×√(11×11)
=2×2×11×√(3×5)
=44√15

したがって、今回の問題の答えは「44√15」です。

まとめ

ルートの中の数を整理するときは、まず素因数分解を使って2乗の組み合わせを見つけるのがポイントです。

手順を覚えておけば、大きな数の平方根もスムーズに計算できます。

苦手に感じていた方も、基本の考え方をもう一度確認しておきましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」

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