工夫して20秒で計算してみて！「76×76」→暗算できる？

今回は、同じ数の掛け算（二乗）を、暗算でする方法について紹介します。

この暗算方法は、インド式計算法の一種として知られています。

ぜひ、ご覧ください。

問題

次の計算を暗算でしなさい。
76×76

※制限時間は20秒です。

解答

正解は、「5776」です。

二桁×二桁の計算をするとなると、筆算をどうしても思い浮かべてしまうかもしれません。

しかし、今回紹介するのは筆算とは全く別の計算方法です。

次の「ポイント」で、計算過程を確認してみましょう。

ポイント

この問題のポイントは、「76+4=80」という関係です。

インド式計算法を使うと、aの二乗は次の手順によって求められます。

<aの二乗の求め方>
ステップ1:aを切りのよい数にするためにbを足す。→a+b
ステップ2:aからbを引く。→a−b
ステップ3:ステップ1と2でできた数を掛ける。→(a+b)×(a−b)
ステップ4:ステップ3の答えにb×bを足す。→(a+b)×(a−b)+b×b

76を切りのよい数にする4は、上の求め方でいえばbにあたる数です。この数をキーアイテムとして、次のように計算をしましょう。

<76の二乗（76×76）の求め方>
ステップ1:76を切りのよい数にするために4を足す。→76+4=80
ステップ2:76から4を引く。→76−4=72
ステップ3:ステップ1と2でできた数を掛ける。→80×72=5760
ステップ4:ステップ3の答え（5760）に4×4を足す。→5760+16=5776

ここで、ステップ3を見てください。切りのよい80と72の掛け算の形を作ることで、二桁×二桁の掛け算の計算量を実質一桁×二桁に変更できているのが分かります（80×72は8×72の答えの末尾に0を付ける形で計算できます）。この計算ステップはややこしく見えるかもしれませんが、計算の負担を減らすという意味があるのです。

最後に、どうしてこのような計算で答えが出せるのかを確認しておきましょう。

カギになるのは、次の「乗法公式」です。

(a+b)×(a−b)=a×a−b×b

乗法公式とは、積（掛け算）を展開するときに使われる公式です。公式の型を覚えておくことで、計算が早くなります。乗法公式には複数の種類がありますが、今回使うものは特に式をシンプルな形に変形できるので、様々な場面で重宝します。

では、この乗法公式の左右に+b×bを足してみてください。

(a+b)×(a−b)+b×b=a×a−b×b+b×b←−b×bと+b×bが相殺されて右辺から消える
(a+b)×(a−b)+b×b=a×a

二行目の式は「aにbを足したものとaからbを引いたものを掛け合わせ、b×bを足す」と「a×a（aの二乗）」になることを表しています。今回紹介した計算方法と、完全に一致しますね。

まとめ

二乗の計算は切りのよい数を作ることに焦点を当てて考えると、今回紹介したような方法で計算できます。

ステップ3で切りのよい数の掛け算を登場させることが、計算量削減のポイントになっています。二桁の二乗の計算量をできるだけ減らしたいときには、この方法を試してみてください。

なお、インド式計算法には、今回紹介したもの以外にもさまざまな種類があります。掛け算の計算を楽にしてくれるものも多いので、興味がある人はぜひ調べてみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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