これどうやって計算するか覚えてる？「x^2+5x+6」→因数分解すると？

学生のころ因数分解が苦手だったという人でも、大人になってから復習してみると意外に簡単に感じられるかもしれません。

なぜなら、典型的な因数分解の問題は、決まった手順に沿うだけで答えが出るからです。

今回の問題にチャレンジして、因数分解の手順を身につけてみませんか？

問題

次の式を因数分解しなさい。
x^2+5x+6

正解は、「(x+2)(x+3)」です。

因数分解とは、簡単に言うと「式を掛け算の形に変形すること」です。

なお、文字が入った式では、掛け算の記号は省略されるので、(x+2)(x+3)は(x+2)×(x+3)のことです。

「x^2+5x+6」を「(x+2)(x+3)」という掛け算に直しているので、これで因数分解ができたことになります。

では、どうやってこの答えを導けばよいのでしょうか？

次項で、因数分解の「ポイント」を確認してみましょう。

x^2+ax+bという式を因数分解するポイントは、「足してa、掛けてbとなる二つの数の組み合わせを探すこと」です。

x^2+ax+bを因数分解すると、(x+c)(x+d)という形になります。このcとdに見つけた二つの数を入れると、因数分解が完了します。

では、今回の問題を改めて見てみましょう。

x^2+5x+6

この式であれば、足して5、掛けて6になる二つの数を見つければ、因数分解ができますね。

足して5、掛けて6になる二つの数といえば、2と3です。

2+3=5
2×3=6

よって、(x+c)(x+d)のc、dに、2、3を入れると因数分解が完了します。

(x+2)(x+3)
※(x+3)(x+2)としてもOKです。

先の方法でx^2+ax+bの因数分解ができる理由について、考えてみましょう。

まず、(x+c)(x+d)を、次の分配法則を使って計算していきます。

<分配法則>
a×(b+c)=a×b+a×c
(a+b)×c=a×c+b×c

最初は(x+c)(x+d)の(x+d)をひと固まりと見て、分配法則を使っていきます。

(x+c)(x+d)
=x(x+d)+c(x+d)←(x+c)(x+d)の(x+d)をひと固まりと見て計算
=x^2+dx+cx+c×d←x^2はxを二個掛けた式
=x^2+(c+d)x+c×d

因数分解の問題では、x^2+(c+d)x+c×dが提示されて、(x+c)(x+d)の形にしていくので、今計算した過程とは逆のことをします。

ここで、x^2+(c+d)x+c×dのc+dをa、c×dをbとしたのが、x^2+ax+bの式です。

よって、足してa（c+d）、掛けてb（c×d）となるcとdが分かれば、x^2+ax+bを(x+c)(x+d)の形に因数分解できるのですね。

因数分解の問題、答えの出し方は分かったでしょうか。

x^2+ax+bの因数分解→c+d=a、c×d=bとなるcとdを見つけて、(x+c)(x+d)とする

因数分解にはいくつかパターンがあり、必ずしも上で紹介した解法だけで答えが出せるわけではありません。ただし、今回チャレンジした因数分解の問題はとてもよく出題される典型的な問題といえます。

まずはこの解法を覚え、使いこなせるようになりましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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