これどうやって計算するか覚えてる？「(−2)^6」→10秒でチャレンジ

学生時代に習ったけれど社会人になったら忘れてしまったこと、意外と多いのではないでしょうか？

今回は「累乗」の計算方法を覚えているかどうか、確かめてみましょう。

累乗の計算を効率的にするためのポイントも紹介しているので、ぜひご覧ください。

問題

次の計算をしなさい。
(−2)^6

※制限時間は10秒です。

正解は、「64」です。

制限時間が結構短く感じられたかもしれません。

この問題に10秒以内で解答するには、累乗の意味だけでなく、負の数の掛け算のルール、そして掛け算の効率的な計算方法を押さえておく必要があります。

では、どう計算すればよかったのかを、次の「ポイント」で確認しておきましょう。

この問題のポイントは、「九九の範囲の掛け算で答えを出すこと」です。

まず、問題の式の意味を考えましょう。

(−2)^6

(−2)^6は、「−2を6個掛け合わせる」という意味の式です。このように、同じ数を何個か掛け合わせる計算は「累乗」と呼ばれています。

何個掛け合わせるかは、「指数」という数で表します。指数は、本来掛け合わせる数の右上に小さく書きます。ただし、（本記事を含め）上付き文字が使えない場合は、^という記号を使って指数を表すことがあります。(−2)^6の場合は、6が指数になります。

累乗は、一見難しく見えますが、「繰り返し同じ数が登場する掛け算の省略形」と考えると計算がしやすいです。実際、累乗は掛け算に直してから計算することも多いですよ。

では、(−2)^6も掛け算の形で表してみましょう。

(−2)^6
=(−2)×(−2)×(−2)×(−2)×(−2)×(−2)

これを順番に計算していけば、答えが出ます。

ただ、10秒以内という制限時間を考えると、負の数や二桁の掛け算など、面倒な計算はできるだけ避けたいですよね。

そこで、まずは累乗が偶数である点に注目します。

(−2)^6

実は、負の数を掛け合わせる累乗で指数が偶数の場合、その答えは必ず正の数になります。

どうしてかは、次の負の数の掛け算ルールを見ると分かります。

＜答えの符号の決め方（掛け算編）＞
・同符号どうしの掛け算の答え→正の数（+）になる
例：−1×(−1)=1
・異符号どうしの掛け算の答え→負の数（−）になる
例：−1×1=−1

さて、負の数の累乗で指数が偶数の場合、負の数二つの掛け算のペアを作っていくと、ペアにあぶれる負の数はありません。

下の図の通り、負の数×負の数=正の数になるため、全体の答えも正の数になると分かります。

つまり、指数が偶数である今回の問題の答えは正の数になるというわけです。よって、(−2)^6=2^6と考えてOKです。

(−2)^6
=2^6
=2×2×2×2×2×2

次に掛け算をします。左から順番に計算していくと次のようになります。

2×2×2×2×2×2
=4×2×2×2×2
=8×2×2×2
=16×2×2
=32×2
=64

ちょっと長いですね。途中で二桁×一桁の計算が二回も出てくるのも暗算をしづらくしています。

そこで2×2×2=8になることに注目し、次のように計算してみましょう。九九を使って答えが出せることが分かりますよ。

2×2×2×2×2×2
=(2×2×2)×(2×2×2)←先に2×2×2二つの計算をする
=8×8←九九で答えが出せる
=64

掛け算は、計算の順序を変えても答えが変わりません（これを結合法則といいます）。よって、先に2×2×2二つの計算をして、九九を使える形にする工夫が可能になるのです。

今回の問題では、負の数の累乗を効率的に計算する方法についてご紹介しました。

今回の問題は、「負の数の累乗で指数が偶数であれば答えは正の数になる」ことを使い、正の数の累乗として考えると計算がしやすくなります。負の数の累乗問題は、符号を正にするか、負にするかという判断がポイントになってくることが多いので、この点をしっかり押さえておくと正解率が上がるでしょう。

また、計算の順番を変えることで、掛け算がしやすくなる場合があることも覚えておきましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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