工夫して20秒で計算してみて！「31671、31571、31471」→11の倍数はどれ？

aがbの倍数かどうかを判定する確実な方法は、a÷bを計算することです。答えが整数になればaはbの倍数といえます。

しかし、a÷bの計算がややこしい場合は、別の判定法を使った方が効率的かもしれませんよ。

今回は、11の倍数を簡単に判定する方法を紹介します。

問題

次の三つの数のうち、11の倍数はどれでしょうか。
31671
31571
31471

※制限時間は20秒です。

解答

正解は、「31471」です。

実際、31471÷11の答えは2861となり、割り切れます。

しかし、それぞれの数が11で割れるかどうか、実際に割り算しようとすると心が折れそうになりますよね。

しかし、次の「ポイント」で紹介する工夫を使えば、簡単な足し算と引き算だけで11の倍数を探すことができますよ。ぜひご覧ください。

ポイント

この問題のポイントは、「各桁の数字を交互に+、−していき、11の倍数になるもの（0を含む）」を見つけることです。

5桁の数をa×10000+b×1000+c×100+d×10+eと表す（aは1~9、b、c、d、eは0~9の整数）と、次のことが言えます。

a−b+c−d+eが11の倍数になるなら、5桁の数も11の倍数になる
※0を11で割ると答えは0（整数）になるので、0も11の倍数に含める

では早速この方法を使って、三つの数の中から11の倍数を見つけてみましょう。

31671の場合：3−1+6−7+1=2
31571の場合：3−1+5−7+1=1
31471の場合：3−1+4−7+1=0←11の倍数

よって31471が11の倍数だと判定できます。

11の倍数の判定方法が成り立つ理由

この方法で11の倍数が分かるのはなんだか不思議ですね。

そこで、a×10000+b×1000+c×100+d×10+eを変形してこの判定方法が成り立つ理由を明らかにしてみましょう。

変形のポイントは、11の倍数となる部分が分かるようにすることです。

次の変形の過程を見てください。

a×10000+b×1000+c×100+d×10+e
=a×(9999+1)+b×(1001−1)+c×(99+1)+d×(11−1)+e
=a×(11×909+1)+b×(11×91−1)+c×(11×9+1)+d×(11−1)+e←9999÷11=909、1001÷11=91
=a×(11×909)+a+b×(11×91)−b+c×(11×9)+c+d×11−d+e
=11×(a×909+b×91+c×9+d)+a−b+c−d+e

11×(a×909+b×91+c×9+d)の部分は11の倍数になっているので、あとはa−b+c−d+eが11の倍数になれば、元の5桁の数も11の倍数になるということです。

この方法を拡張していけば、6桁の数でも同じように11の倍数判定ができます。

まとめ

今回は、11の倍数を判定する方法について紹介しました。

11の倍数判定方法は、2や3、5の倍数判定方法に比べれば少しややこしく感じられるかもしれません。しかし、ある数を実際に11で割って倍数判定をするのは面倒なものです。この判定方法を知っておけば、かなり楽になりますよ。

今回は5桁の数字についての問題でしたが、他の桁の数も同じ方法で11の倍数判定ができるかぜひ試してみてください。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

---

---

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

---

この問題は解けるかな？