これどうやって計算するか覚えてる？「16^3÷4^4」→正しく計算できる？

今回は、累乗どうしの割り算にチャレンジです。

一見、難しく見えるかもしれませんが、累乗ならではの「ある法則」に注目すると、あっさり答えが出る問題になっています。

さて、この問題、あなたはどうやって計算しますか？

問題

次の計算をしなさい。
16^3÷4^4

正解は、「16」です。

今回の問題は少しややこしく見えますが、「指数法則」を知っていれば計算はそこまで難しくありません。

次の「ポイント」では、指数法則を使った計算方法をステップごとに説明しています。累乗の意味を復習しながら計算ができるので、16^3や4^4が何を表しているのか分からなかった人も、ぜひご覧ください。

ポイントは「式を4^●÷4^□の形に変形すること」です。

この形に変形すると、割り算は4^(●−□)という指数の引き算にできるからです。

では、変形の仕方と計算過程をステップごとに見ていきましょう。

まずは、16^3を4^●の形に直します。

16^3は、累乗と呼ばれる計算の一種です。累乗は、同じ数を何個か掛け合わせた計算のことで、何個掛け合わせるかは指数で表します。

指数は本来、掛け合わせる数の右上に書きますが、上付き文字が使えないテキストなどでは^を使って指数を表します。本記事でも、指数表現には^を使います。

16^3であれば「16を3個掛け合わせる」という意味になるので、掛け算に直して計算ができます。

16^3
=16×16×16←16を3個掛け合わせる計算

ただ、16×16×16のような計算をするのはちょっと面倒です。

そこで、今回は式の中にあるもう一つの累乗4^4に合わせて、掛け合わせる数が4になるように調整していきます（どうしてそうするのかという理由はだんだん明らかになってくるので、ここではいったんスルーしてください）。

16は4×4で表せますので、次のように変形ができますね。

16×16×16
=(4×4)×(4×4)×(4×4)←16を4×4に直した
=4×4×4×4×4×4←4を6個掛け合わせる式
=4^6

これで、元の式は4^●÷4^□の形になりました。

16^3÷4^4
=4^6÷4^4

次に、4^6÷4^4の計算をします。

ここで、割り算をいったん分数にしてみましょう。b≠0のとき、割り算a÷bはa/bという分数にできます。

なお、累乗は、括弧のない四則演算よりも先に計算をするので、4^6と4^4はそれぞれひと固まりとして、分子、分母に配置します。その後、累乗を掛け算の形に直しましょう。

4^6÷4^4
=4^6/4^4←割り算を分数の形に直す
=(4×4×4×4×4×4)/(4×4×4×4)←累乗を掛け算の形に直す

次に、分子と分母を同じ数で割る「約分」をします。分子と分母を(4×4×4×4)で割ると、残るのは分子の4×4だけですね。

(4×4×4×4×4×4)/(4×4×4×4)←分子と分母を(4×4×4×4)で割る（下記画像参照）
=(1×1×1×1×4×4)/(1×1×1×1)
=(4×4)/1
=4×4
=4^2
=16

これで答えが出ました。

さて、この約分の過程をふまえ、指数にのみ注目して式の変化を見直してみると、次のようになります。

4^6÷4^4
=4^(6−4)←指数どうしを引き算する
=4^2
=16

つまり、4^●÷4^□は、4^(●−□)として計算できるのですね。

今回紹介した「割り算を指数の引き算」に直す計算方法をまとめると、次のようになります。これは指数法則と呼ばれる法則の一種です。

▲^●÷▲^□
=▲^(●−□)
※▲≠0で、●と□は整数

割り算が引き算に変わるのは一見不思議に見えますが、背景に「分数の約分」があると考えると理解しやすいですよ。

また、16^3を4^6にするとき、「ポイント」では一回掛け算の形に直して考えましたが、次の指数法則を使うこともできます。

(▲^●)^□
=▲^(●×□)
<例>
16^3
=(4^2)^3
=4^(2×3)
=4^6

このように、指数法則にはいくつかの種類があり、適切な場面で使うことで計算が簡単になります。ぜひ、他の指数法則についても調べてみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。