どこから計算するのが正解？「Xの角度は？」→正しく計算できる？

今回は、三角形の内角を求める問題の中でも、少し難しめのものにチャレンジしてみましょう。

このタイプの問題には、考え方の「ポイント」があるのですが...。

さて、あなたは正解できるでしょうか？

問題

次のXの角度を求めなさい。
ただし、同じ記号のついた角の角度はそれぞれ等しいとします。

正解は、「54°」です。

分からない角度が多すぎて混乱してしまったかもしれませんが、答えを出すために、すべての不明な角度を求める必要はありません。

それよりも、Xの角度をどう効率よく計算していくのか考えることが大事です。

次の「ポイント」で、この問題の考え方を確認してみましょう。

この問題のポイントは、「〇と▲の角度を別々ではなく、〇+▲の形で扱うこと」です。

まず、三角形の内角の問題の基本は、「三つの内角の和は180°」という式を立てることにあります。

例えば、30°と60°の内角を持つ三角形のもう一つの内角の角度?は、次のように求められます。

30°+60°+?=180°←内角の和は180°
90°+?=180°
90°−90°+?=180°−90° ←?=の形にするため両辺から90°を引く
?=90°

一方、ほとんどの内角の角度が分からない今回の問題では、同様の計算はできないように見えます。

しかし、分からないとは言っても、とりあえず〇や▲を使って内角の和の式は作っておきましょう。算数や数学の問題では、正解までの道筋が分からないときでも、式を立てると何らかのヒントが見えてくることは多いです。

〇+〇+▲+▲+X=180°
※〇と▲は記号が付いている内角の角度を表すとする。

少し変形して、〇と▲がペアになるようにします。

(〇+▲)+(〇+▲)+X=180°

この式をよく見てください。〇+▲の値が分かれば、「30°と60°の内角を持つ三角形のもう一つの内角の角度?」を求めたときのように、Xに当てはまる数を計算できるはずです。

では、〇+▲はどうやって求めればよいのでしょうか？

ここで注目したいのが、今回の問題に描かれているもう一つの三角形です。以下の図を見てください。今回の問題には、青枠の小さな三角形と赤枠の大きな三角形の二つが含まれています。

「(〇+▲)+(〇+▲)+X=180°」の式は、赤枠の大きな三角形に注目して作られたものです。一方、青枠の小さな三角形からは次の式を作ることができます。

〇+▲+117°=180°

この式の両辺から117°を引けば、〇+▲の値が求められます。

〇+▲+117°−117°=180°−117°
〇+▲=63°

最後に、この値を「(〇+▲)+(〇+▲)+X=180°」の式に代入し、Xを求めます。

(〇+▲)+(〇+▲)+X=180°
63°+63°+X=180°
126°+X=180°
126°−126°+X=180°−126°
X=54°

これで、正解にたどり着きましたね。

今回のようなタイプの問題は、〇と▲をセットで扱うことがポイントになります。

まず、問題の中に含まれている二つの三角形に注目します。片方の三角形の内角の和の式からは、〇+▲の値が求められます。この値をもう一方の三角形の内角の和の式に代入すると、答えを計算できるようになります。

このシリーズでは、今回の問題の類問も配信されていますので、ぜひ引き続きチャレンジしてみてください。本問の考え方が理解できていれば、今度は自力で答えを出せるはずですよ。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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