【2次方程式】大人が意外と分からない「x²＝x」→xの値は？

中学3年生で学習する「2次方程式」の計算方法、覚えていますか？

式の計算、因数分解、平方根など中学校で習う数学の基礎を正しく理解していないと、2次方程式は意外と解けません。

今回はその中でも、つい引っかかりやすいポイントを含んだ一問をご紹介します。

「数学は得意だった」という方も、ぜひ腕試ししてみてください。

問題

次の2次方程式を解きなさい。

x^2＝x

よくある間違いは「x＝1」です。

解説

正しい答えは、「x＝0とx＝1」の2つです。

xを左辺に移項し、因数分解をして解きます。

x^2＝x
x^2−x＝0 【xを移項】
x(x−1)=0 【左辺を因数分解】
よって、
x＝0 または x＝1

ここで使っているのが「零積の法則（れいせきのほうそく）」です。

「かけ算の結果が0になるときは、少なくともどちらか一方が0である」という法則です。

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3行目から4行目への流れは理解できましたか？

2次方程式の解法として、「因数分解をした後に、カッコの中の数の符号（プラス・マイナス）を入れ替えて答えにする」と暗記している方もいるかもしれません。

【例】
(x+3)(x−5)=0 の解は
x＝−3、5

カッコ内の符号が変わったものが答え

では、なぜ符号を変えたものが答えになるのでしょうか。

それは「かけ算＝0」の形に式変形していることがポイントです。

(x+3)(x−5)=0 という式は、カッコ同士の間に「×」が省略されています。

つまり、(x+3) と (x−5) をかけて0になっているということです。

かけ算の結果が0になるには、どちらか一方が0でなければなりません。

x+3＝0 または x−5＝0
となり、
x＝−3、5
となります。

今回の問題も同様です。
x(x−1)=0 という形に変形できれば、「かけ算＝0」の形になっています。

つまり、
x＝0 または x−1＝0
よって、
x＝0、1

の2つが答えです。

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「x＝1」だけを答えた方はいませんか？

実はこれは誤りです。

通常、「方程式を解きなさい」と言われた場合、特別な指示がない限り、該当する解をすべて答える必要があります。

採点基準によっては、1つしか書いていない場合に減点となることがあります。

間違いやすい答えを検証

「x＝1」だけと答えてしまう解き方を見てみましょう。

【誤った解答】
x^2＝x
両辺をxで割る
x＝1

この間違いは、「両辺をxで割る」という操作です。

具体的な数字（2や3など）で割る場合は問題ありませんが、文字で割る場合は注意が必要です。

その文字が0ではないと確認できなければなりません。

なぜなら、「÷0」は数学では定義されていないからです。

今回の式では、xが0である可能性があります。

両辺をxで割るという操作は、無意識のうちに「x≠0」と仮定していることになります。

その結果、本来あるはずの解「x＝0」を除外してしまうのです。

まとめ

2次方程式の基本、思い出せましたか？

今回は、つまずきやすい一例をご紹介しましたが、2次方程式にはほかにもさまざまな解法があります。

久しぶりに数学に触れたという方も、ぜひこの機会に復習してみてください。

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※当メディアでご紹介する数学関連の記事においては、複数の解法を持つものもございます。
あくまで一例としてのご紹介に留まることをご了承ください。

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監修：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」

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