これどうやって計算するか覚えてる？「二十角形の内角の和は？」→正しく計算できる？

多角形の内角の和は、公式を使えば簡単に求められます。

しかし、この公式をすっかり忘れてしまっているという人も多いでしょう。

今回は、公式を忘れても通用する「多角形の内角の和の求め方」をご紹介します。

問題

二十角形の内角の和を求めなさい。

正解は、「3240°」です。

二十角形は角数が多く、どのような図形か考えるだけで大変だったかもしれません。

次の「ポイント」では、まず四角形、五角形、六角形から多角形の和の求め方をイメージします。そこから、この問題の答えを計算する方法を考えていきますよ。ぜひ、ご覧ください。

この問題のポイントは、「多角形を三角形に分割すること」です。

三角形の内角の和は180°と決まっていますので、多角形を三角形に分割することで内角の和を求められます。

ただ、今回のように角が多い多角形は分割のイメージを持つことが難しいです。そこで、まず角の少ない多角形をもとに分割のしかたの規則性を考えていくことにします。

具体的な分割法は、二つあります。どちらでも正解にたどり着けるので、順番に見ていきましょう。

一つ目の方法は、「一つの頂点から他の頂点に線を引く方法」です。

まずは、四角形、五角形、六角形でこの分割方法を試してみましょう。

Aという特定の頂点から他の頂点に線を引いていきます。

四角形をこの方法で分割したとき、できる三角形の数は2個です（上図左）。

四角形に一つ頂点を加えた五角形の場合はどうでしょう（上図中央）。頂点が増えたことで分割できる三角形の数も一つ増え、五角形は3個の三角形に分割されます。

さらに、五角形に頂点を一つ足してできる六角形は、4個の三角形に分割されます（上図右）。

同じく、七角形は5個、八角形は6個、九角形は7個の三角形に分割されるでしょう。ここで多角形の角の数と分割される三角形の数の関係を考えると「多角形の角の数−2=分割できる三角形の個数」が成り立つことが分かります。

よって、この方法で二十角形を分割したとき、できる三角形の数は20−2=18個となるはずです。

ここでもう一度上の図を見てください。分割によってできた三角形の内角の和は、多角形の内角の和と一致しているのが分かりますね。

よって、二十角形の内角の和は、18個の三角形の内角の和を計算することで求められます。

180°×18=3240°

もう一つの方法は、「多角形の内部から各頂点に対して線を引く方法」です。

まずは、六角形で考えてみましょう。以下のように内部の一点から各頂点に線を引くと、六角形は6個の三角形に分割されます。この方法では、多角形の角の数と分割できる三角形の個数は一致します。

ただし、内部の点に集まっている三角形の角は、多角形の角とは関係がありません。内部に集まっている三角形の角度の合計は、上の図の通り360°です。

ここで、二十角形の場合を考えてみましょう。この分割方法では、三角形が20個できます。これらの三角形の内角の和は180°×20で求められますが、内部に集まった360°については二十角形の内角には含まれません。

よって、二十角形の内角の和は次の式で計算できます。

180°×20=3600°←三角形が20個できる
3600°−360°=3240°←内部の点に集まっている360°を引く

n（nは3以上の整数）角形の内角の和の公式は、次の形をしています。

180°×(n−2)

この公式は「n角形の1つの頂点から他の頂点に向かって線を引くと、その多角形はn−2個の三角形に分割されること」（方法1の分割方法）が分かっていれば、自分で作れます。

また、この公式を展開すると「180°×n−360°」の形になります。こちらも方法2で紹介した分割方法が理解できれば、意味が分かるでしょう。

このタイプの問題は、公式を丸覚えしなくても「多角形は三角形に分割して内角の和を求めることができる」と理解していれば、答えが出せるようになりますよ。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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