工夫して30秒で計算してみて！「25^11÷5^22」→30秒でチャレンジ

累乗の計算は、指数が大きくなればそれだけややこしくなりがちです。

そんなときは、計算の工夫をしてできるだけ簡単に答えを出せないか考えてみましょう。

今回の問題も、うまく工夫すれば30秒以内に計算ができますよ。

問題

次の計算をしなさい。
25^11÷5^22

※制限時間は30秒です。

正解は、「1」です。

累乗の形を見て「とても制限時間内に答えが出せそうにない」と思った人は、ぜひ次の「ポイント」をご覧ください。

簡単に計算するにはどうすればよいかが分かるはずです。

この問題のポイントは、「掛け合わせる数をそろえること」です。

まず、累乗の基本事項について確認しておきましょう。

累乗とは、同じ数を何個か掛け合わせる計算のことです。何個掛け合わせるかは、指数という数で表します。

例えば、2^3という累乗は、2を3個掛け合わせるという意味です。この累乗の指数は、^の後ろにある3です。

指数は、掛け合わせる数の右上に書くのが一般的ですが、上付き文字が使えないテキストではこのように^を使って指数を表すことがあります。

さて、累乗は同じ数の掛け算を簡単に書いたものと言えますから、掛け算に直して計算ができます。

2^3
=2×2×2
=8

ここで、今回の問題をもう一度見てみましょう。

25^11÷5^22

累乗は割り算よりも計算の優先順位が高いので、この式は「25を11個掛け合わせた数（25^11）」を「5を22個掛け合わせた数（5^22）」で割るという意味になります。

しかし、25^11も5^22も、とても30秒以内に計算できそうにありませんね。そんなときは、掛け合わせる数を統一することを考えてみてください。

まず、25は5^2（5×5）だということに注目し、次のように式を書き換えます。

25^11
=(5^2)^11
=(5×5)^11

(5×5)^11は、「5×5（5を2個掛け合わせたセット）」を11個掛け合わせているという意味です。よって、(5×5)^11は、5を2×11個掛け合わせている5^(2×11)とイコール関係になります。

(5×5)^11
=(5×5)×(5×5)...×(5×5)←(5×5)を11個掛け合わせている
=5×5×5×5...5×5←5を2×11個掛け合わせている
=5^(2×11)
=5^22

つまり、今回の問題は、5^22を5^22で割る「同じ数どうしの割り算」に書き換えられるのです。

25^11÷5^22
=5^22÷5^22

（0以外の）同じ数どうしの割り算の答えは、1になります。よって、この問題の答えも（5^22を計算せずとも）1だと分かります。

今回の問題では、掛け合わせる数が「5」に統一できる点がポイントになりました。

25^11÷5^22を5^22÷5^22の形に直せば、「同じ数どうしの割り算」になり、累乗の計算をしなくても答えが出るのです。

なお、今回の問題で使った指数の変形は、次のように一般化することができます。

(a^b)^c=a^(b×c)
※a>0でbとcは有理数

※今回の問題でいえば、(5^2)^11=5^(2×11)

この式は、指数法則と呼ばれる法則の一種です。指数法則は、累乗の計算を簡単にするためにとても役立ちます。ぜひ他の指数法則についても調べてみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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