意外に間違える人が多いかも…？「？の角度を求めよ」→正しく計算できる？

今回は図形問題に挑戦しましょう。分度器を使うことなく計算によって求めていきます。

図形に登場している条件を余すことなく使うことがポイントですよ。

問題

図の？の角度を求めなさい。

※それぞれ同じ記号がついている角度は等しいものとする。
※実際の角度とは異なる場合がある。

いくつかの角度が等しい三角形が二つある状態です。

解説

この問題の答えは「15°」です。

さて、条件を全て使って式に整理するためには三角形に関するある性質を思い出さなくてはなりません。

《三角形の外角》
・一つの外角はそれと隣り合わない二つの内角の和に等しい。

今回、二つの三角形があるのでそれぞれについて外角を用いた式を立てていきましょう。

まずは扱いやすいようにそれぞれの頂点をA〜Dを使って表し、☆はa、◯はbとします。

では、三角形ABDについてです。外角の公式を適用すると

30+2a=2b・・・(1)

という式が求まります。次に三角形ABCでも同様に考えると

?+a=b・・・(2)

という式になりますね。この(1)(2)を使った連立方程式を解いて、?を求めます。

(1)の両辺を2で割ると

30+2a=2b
15+a=b

となり、これと(2)を見比べると?に当てはまる数が15とわかります。つまり、答えは15°です。

少し複雑な計算でしたが、実はこのような形の図形では一定の法則があります。

三角形の内角と外角のそれぞれの二等分線で作られた角は、元の三角形のもう一つの角の半分の大きさである。

図に整理するとこのようになります。

 

逆もまた成り立ちます。この知識があった人は一瞬で解けたかもしれない問題でしたね。

まとめ

今回は図形問題を方程式に直して解いていきました。

分度器を使わずに計算だけで角度を求められることは数学の面白さと奥深さでもありますね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法を持つものもございます。 あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：うおうお
数学の教員免許を所持。個別指導・集団指導の学習塾で数学の講師として小学生から高校生までの指導や、小学生の宿題指導を通して算数の魅力を深堀して楽しく伝えている。現在は民間学童保育所で放課後児童支援員として勤務しながらフリーランスで受験指導もしている。

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