これどうやって計算するか覚えてる？「ルート20+ルート45」→正しく計算できる？

√記号が計算式の中に出てくると難易度が急に上がったように感じるかもしれません。

今回の問題にチャレンジすれば、√が付いた数の足し算に必要な知識をサクッと復習できます。

ぜひ、挑戦してみてください。

問題

次の計算をしなさい。
√20+√45

正解は、「5√5」です。

√20+√45=√65のように、√の中の数どうしを単純に足すのはNGです。

計算方法が分からなかったという人は、次の「ポイント」をご覧ください。

「√はどんな数を表す記号なのか」という基本知識から復習できる内容になっていますよ。

この問題のポイントは、「√の中をできるだけ小さい数にすること」です。

√が付いた数どうしの足し算は、√の中が同じ数のときにしか足し算ができません。

a√b+c√b（b>0）
=(a+c)√b←√の外の数どうしを足す

※a√bはa×√bの×を省略した形です。

しかし、今回の足し算は√20+√45なので、√の中が同じ数ではありません。このように計算が不可能に見える足し算では、まず√の中をできるだけ簡単な数にしていきます。

まず、√の基本に戻ってみましょう。√a（a>0）とは、二乗（二個掛け合わせること）するとaになる正の数のことです。

√a×√a=a（a>0）

√2でいえば、√2×√2=2が成り立ちます。また、√どうしの掛け算は√の中の数どうしを掛ければよいので、√a×√b=√(a×b)です。

ここで、次のように√20を掛け算の形に変形します。

√20
=√(2×2×5)
=√2×√2×√5

√2×√2は2になります。よって、√20は2×√5、掛け算を省略すると2√5の形に変形できることが分かりますね。

√2×√2×√5←√2×√2=2
=2×√5
=2√5←×記号を省略

同じく、√45も変形してみましょう。

√45
=√(3×3×5)
=√3×√3×√5←√3×√3=3
=3×√5
=3√5←×記号を省略

この変形した数を、元の式に当てはめてみましょう。足される数、足す数、ともに√の中の数が5になるのが分かります。

√20+√45
=2√5+3√5←√の中の数が5に統一された

この形になれば、√5の前の数どうしを足して答えを出せますね。

2√5+3√5
=(2+3)√5
=5√5

√付き数の足し算は、「√の中の数が同じでないと計算できない」です。

といっても、超基本の足し算以外では、ほとんどの場合足される数と足す数の√の中の数は同じではありません。こんなときは、√の中の数を掛け算の形に分解し、√の外に出せる数がないかを探しましょう。

a>0、b>0のとき、√の中が√(a×a×b)の形になれば、aをルートの外に出してa√bとできます。

√(a×a×b)
=√a×√a×√b
=a√b（a>0、b>0）

この変形を行うと、√の中の数がそろうことが多いですよ。√付き数どうしの足し算では、√の中の数をできるだけ小さくし、計算ができる形に持っていきましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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