意外に間違える人が多いかも…？「1，5，9，13…」→21番目の数は？

ある規則に従って並んでいる数の列を「数列」と呼びます。

数列は高校数学の範囲でならう分野ですが、簡単な数列問題であれば、算数レベルの知識で答えを求めることができますよ。

さて、今回の問題、あなたは正解できるでしょうか。

問題

次の数列の21番目の数を求めなさい。
1，5，9，13…

正解は、「81」です。

数列の問題は普通の計算問題とは少し種類が違うので、慣れていない人にとっては難しく感じるかもしれません。

しかし、数列の問題に答える基本の型さえ分かれば、答えを出すのは案外簡単ですよ。

次の「ポイント」で、数列の基礎知識を確認してみましょう。

数列問題のポイントは、「数列の規則性を見抜くこと」です。

与えられた数列がどんな規則に従って並んでいるのかが分かれば、書かれていない数列の続きも計算で求めることができます。

数列の規則性としてメジャーなものに「同じだけ増えたり減ったりする」というものがあります。この規則性に従った数列を「等差数列」と呼びます。

等差数列では、ある数から一つ前の数を引いた結果（差）がどこでも同じになります（この差を公差と呼びます）。

今回の数列で、ある数から一つ前の数を引いた結果は以下のようになります。

5−1=4
9−5=4
13−9=4

どの結果も4なので、この数列は公差4の等差数列といえますね。

さて、今回の問題は、この数列の21番目の数を答えるというものでした。

4番目の数が13なので、5番目の数は13+4=17、6番目の数は17+4...と、順番に公差を足していって21番目の数を求める方法もありますが、ちょっと時間がかかりそうです。

そこで、1番目の数から21番目の数までの間に4は何回足されているのかを考えてみましょう。

1番目と4番目の間の数は4−1=3、1番目と5番目の間の数は5−1=4となるので、同じように1番目と21番目の間の数は、21−1=20となるはずです。

つまり、1番目の数に4を20回足すと、21番目の数になるというわけです。4を20回足すことを掛け算で表すと、4×20ですから、21番目の数は次の式で求められます。

21番目の数
=1番目の数+公差×20
=1+4×20
=81

このように、等差数列n番目の数は、1番目の数と公差が分かれば、計算で求めることができます。

今回は、等差数列の21番目の数を求める問題にチャレンジしました。

数列では第n番目の数を第n項と呼び、1番目の数は特別に初項と呼びます。この言葉を使い、「ポイント」で説明した等差数列n番目の数（第n項）を求める方法を公式化すると、次のようになります。

公差dの等差数第n項
=初項+d×(n−1)

n−1は、初項と第n項の間の数のことです。

この公式さえ覚えておけば、第100項や第200項も計算で求めることができますよ。等差数列の基本になる公式なので、ぜひ使いこなせるようになりましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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