制限時間は10秒！「911、9111、91111」→3の倍数はどれ？

ある数が3の倍数かどうかを判定するには、どうすればよいでしょうか。

実際に3で割って割り切れるかどうか試してみるのは確実な方法ですが、判断したい数が大きいときは計算に時間がかかってしまうでしょう。

そんなときは「3の倍数」の特徴を使った判定をするのがおすすめです。

問題

次の三つの数のうち、3の倍数はどれでしょうか。
911
9111
91111

※制限時間は10秒です。

正解は、「9111」です。

三つの数を実際に3で割った結果を見てみると、次のようになります。

911÷3=303余り2
9111÷3=3037
91111÷3=30370余り1

よって、3で割り切れるのは9111です。

しかし、これらの計算を10秒以内にするのは至難の業ですね。

次の「ポイント」では、もっと簡単に3の倍数を見つけられる方法を紹介します。

3の倍数だと判定するポイントは、「各桁の値を足して3で割り切れる数を見つけること」です。

まず、三つの数の各桁を足します。

911の各桁の和→9+1+1=11
9111の各桁の和→9+1+1+1=12
91111の各桁の和→9+1+1+1+1=13

この中で3で割り切れる数は12だけなので、よって3の倍数は9111だと判定できます。とても簡単ですよね。

では、どうしてこの方法で3の倍数を見つけられるのかを考えてみましょう。

まず、三桁の数をa×100+b×10+cと置きます。ここで、a、b、cは各桁の数字を表す（aは1~9の整数、b,cは0~9の整数）とします。

この式に含まれる3の倍数部分が分かるように、変形していきます。

a×100+b×10+c
=a×(99+1)+b×(9+1)+c←100、10を9の倍数+1の形に変換
=a×99+a+b×9+b+c←分配法則で9の倍数だけ取り出す
=3×(a×33+b×3)+a+b+c←3×●の部分を作る

3×(a×33+b×3)の部分は3の倍数になっていますね。よって、残りのa+b+cも3の倍数であるなら、a×100+b×10+cは3の倍数だといえます。

a+b+cは各桁の数の合計を表していますから、「各桁の値を足して3で割り切れる数」であれば、その数は3の倍数ということになります。

また、桁数が増えても同じような変形ができますよ。

<四桁の場合>
a×1000+b×100+c×10+d
=3×(a×333+b×33+c×3)+a+b+c+d

<五桁の場合>
a×10000+b×1000+c×100+d×10+e
=3×(a×3333+b×333+c×33+d×3)+a+b+c+d+e

3の倍数を判定する方法は、「各桁の数を足す→足し算の結果が3で割り切れるかどうかを確認する」のツーステップでOKです。

桁数の大きな数に対し、実際に3で割って割り切れるかどうかを判定するのは、とても時間がかかります。この方法を覚えておけば、簡単な足し算と割り算をするだけで3の倍数を見つけられるので、ぜひ覚えておきましょう。

また、3の倍数の他にも2や5、9の倍数を判定する方法は有名です。各数の倍数判定方法を覚えておくと、割り算や因数分解にとても役立ちますよ。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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