意外に間違える人が多いかも…？「同時に2個取り出す」→2個とも白玉の確率は？

確率の問題に強くなると、直感的には正しく思えたことが間違っていると気付けたり、購買意欲をそそるような広告のキャッチフレーズがあいまいなものだと判断できたりします。

要は、騙されにくくなるのです。

今回は、簡単なクイズを通して確率の基本を復習していきます。

問題

袋に赤玉と白玉が2個ずつ入っています。
同時に2個取り出したとき、2個とも白玉である確率を求めなさい。

正解は、「1/6」です。

1/3と答えてしまった場合は、不正解です。

確率の問題では「パターン数」を正確に数える必要があります。この「正確に数えること」がなかなか難しいのですが…。

次の項で確率の数え方の「ポイント」を確認してみましょう。

この問題のポイントは、「同じ色の玉をそれぞれ区別して数えること」です。

まず、確率は次の公式で求められます。

ある事柄が起こる確率=ある事柄が起こるパターン数÷起こりうるすべてのパターン数

各パターン数を数えるとき、大事なのが「同様に確からしい」という考え方です。これは、あるパターンが他のパターンより起こりにくかったり起こりやすかったりすることがないということです。

同じ属性を持つものでも、それぞれを別物として考えることは「同様に確からしい」パターンを数えることにつながります。今回でいえば、赤玉と白玉の2個は同じ色でも区別します。例えば赤玉A、赤玉B、白玉A、白玉Bというように同じ色の玉でも区別がつくようにしてパターン数を数えます。

どうしてこのように区別をしなければならないのでしょうか？

例えば、赤玉と白玉が1個ずつ出るパターンは、赤玉と白玉を区別しない場合、「赤玉、白玉」の1パターンしかありません。しかし、これでは「赤玉と白玉が1個ずつ入っている場合」も「白玉が99個で赤玉が1個入っている場合」でも、すべて白玉と赤玉が1個ずつ出るパターン数は1パターンになります。

後者は前者に比べ「赤玉、白玉」になる確率が明らかに低いのに、どちらのパターンも1つと考えてしまうのは、おかしいですよね。

このようなおかしい状態を回避し、同様に確からしい前提を守るためには、同じ色の玉でも区別しておくことが大事なのです。

では、ここまでの内容をもとに、今回の問題について考えてみましょう。

まず、袋の中にある赤玉2個と白玉2個を区別した状態で「起こりうるすべての（同様に確からしい）パターン数」を数えてみましょう。以下のように、取り出す玉の種類を（）の中に書き出してみました。

（赤玉A、赤玉B）
（白玉A、白玉B）
（赤玉A、白玉A）
（赤玉A、白玉B）
（赤玉B、白玉A）
（赤玉B、白玉B）

すべてのパターン数は6。その中で白玉2個のパターンは1つしかありません。

よって、「同時に2個取り出したとき、2個とも白玉である確率」は「1÷6」で1/6になります。

2個とも白玉であるパターン数÷起こりうるすべてのパターン数
=1÷6
=1/6

今回の問題で赤玉と白玉を区別しないと、次のような間違いをしやすくなりますので注意しましょう。

（赤玉、赤玉）
（白玉、白玉）
（赤玉、白玉）
→すべてのパターン数は3パターンだから、1/3

先に見た通り、「赤玉、白玉」のパターンは「白玉、白玉」や「赤玉、赤玉」のパターンよりも起こりやすいため、上のような数え方は「同様に確からしい」という観点からいえば間違いになります。

今回は、確率の問題で重要な「同様に確からしい」という考え方について紹介しました。

「同様に確からしい」という言葉はちょっとわかりにくいかもしれません。そこでまずは「同じ種類のものが出てきても区別して数える」ことを徹底しましょう。今回でいえば、同じ赤玉でも赤玉Aと赤玉Bは別物として数えるのです。こうすることで、自然と「同様に確からしい」パターンを数えることにつながっていきます。

確率の問題に強くなるには、さまざまなパターンの問題にチャレンジして問題形式に慣れていく必要があります。ぜひ、他の確率の問題にも挑戦してみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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