【数列クイズ】これ解けたら頭いい！隠れた階差の中にさらに階差がある三角錐数列

問題

一見バラバラに見える数字の並びですが、差の差を取ると美しい法則が浮かび上がります。あなたは□に入る数を見抜けますか？

ヒント

まず隣り合う数の差（階差数列）を書き出してみましょう。その階差数列自体にも等差の規則が隠れています。

解答

隣り合う項の差を取ると 4, 9, 16, □, 36 となり、これは 2², 3², 4², 5², 6² という平方数の列です。つまり第n項への増分は (n+1)² で表されます。よって30の次は 30 + 5² = 30 + 25 = 55 が答えです。実はこの数列 1, 5, 14, 30, 55, 91 は「四面体数（三角錐数）」と呼ばれ、n(n+1)(n+2)/6 の公式で求められます。n=5 を代入すると 5×6×7÷6 = 35…ではなく、正しくはこの列の第k項は Σ(i=1→k) i(i+1)/2 に対応し、階差が平方数になる美しい構造を持っています。

階差の階差まで調べるのがポイントでした！解けた方は数列センス抜群です。

※複数の正解を持つ場合もございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。