これどうやって計算するか覚えてる？「七角形の内角の和は？」→正しく計算できる？

算数や数学に登場するさまざまな図形の公式を完璧に覚えるのは、なかなか難しいですよね。

そんなときにおすすめなのが「とりあえず基本の図形である三角形」を利用して答えが出せないか試してみることです。

今回は、三角形をベースにした七角形の内角の和の求め方を紹介します。

問題

七角形の内角の和を求めなさい。

正解は、「900°」です。

あなたは、計算方法が分かったでしょうか？

答えを出すために三角形をどのように利用すればよいかは、次の「ポイント」で解説しています。

ぜひ、ご覧ください。

この問題のポイントは「三角形の内角の和を思い出すこと」です。

三角形の内角の和は180°と決まっていました。七角形の問題なのに三角形の内角の和を確認するのは、不思議に思えるかもしれませんが、これには理由があります。

実は、多角形は三角形に分割することができるのです。

試しに、多角形の特定の頂点Aから他の頂点に向かって線を引いてみてください。

上の図をご覧ください。

左の四角形は二個の三角形に分割されます。中央の五角形は四角形から頂点が一つ増えたため、分割後にできる三角形の数も一個増えて三個になっていますね。また、右の六角形は、三角形四個に分割されています。

同じように、七角形は五個の三角形に分割できます。

ここで上の図を見ると、五個の三角形の内角の和と七角形の内角の和は一致することが分かりますね。

よって、今回の問題は次のように計算ができます。

180°×5=900°←三角形の内角の和180°×5個分

多角形を三角形に分割するには、「内部の一点から各頂点に向かって線を引く」という方法もあります。

このとき、多角形は、角の数と同じ個数の三角形に分割されます（七角形なら七個の三角形に分割されます）。ただし、中央に集まる三角形の内角は多角形の内角には含まれません。

ここで、中央に集まる三角形の内角の和は、以下の図の通り360°になります。

よって、七角形の内角の和を求めたいなら、まず三角形七個分の内角の和を求め、そこから360°を引けばよいのです。

180°×7−360°←三角形の内角の和×7から七角形の中央に集まる360°を引く
=1260°−360°
=900°

この考え方でも、正解の900°が算出されますね。

今回は、三角形の内角の和180°をもとにして、七角形の内角の和を求める方法を紹介しました。

ここで紹介した方法を一般化していくと、3以上の整数であるn角形の内角の和は、次の式で求めることができます。

180°×(n−2)
=180°×n−360°

この式は多角形の内角の和の公式として知られています。

ただし、この式を覚えられなくても大丈夫です。今回の問題の「ポイント」のように多角形を三角形に分割できれば、自分で多角形の内角の和を求める式を作り出せるでしょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。