意外に間違える人が多いかも…？「7^0」→正しく計算できる？

今回は、累乗の中でも特別感のある0乗問題にチャレンジしてみましょう。

学生の時、この0乗でつまずいたという人も多いかもしれませんね。

さて、今のあなたは正しく計算できるでしょうか？

問題

次の計算をしなさい。
7^0

正解は、「1」です。

「0」と答えてしまった人は、残念ながら不正解になります。

どうしてこの問題の答えが1になるのかは、次の「ポイント」を見ると分かりますよ。ぜひ、ご覧ください。

0乗を理解するポイントは「累乗の法則」です。

実は、0ではないaについては「a^0=1」が成り立ちます。ただ、どうして7^0が1になるのか理解しづらいという人もいるでしょう。本記事では、その理由も考えていきます。

まず、累乗とは、同じ数を何個か掛け合わせた計算のことです。掛け合わせる個数は、指数で表します。

指数は本来、掛け合わせる数の右上に小さく書きます。ただし、上付き文字が使えないテキストなどでは、^を付けて表します。本記事でも指数表現には^を使っています。

例えば、7^2であれば、7を2個掛け合わせた数なので、次のように掛け算に直して計算できます。

7^2
=7×7
=49

7^2は「7の2乗」と読みます。今回出題された7^0は「7の0乗」です。

さて、累乗が掛け算に直せると分かると、「7^0=7×0=0」と計算したくなるかもしれませんが、これは間違いです。7^2は7×2=14ではなく、7×7と計算していましたよね。指数は「掛け合わせる個数」を表しており、掛ける数ではないからです。

しかし、指数≠掛ける数であることを理解しても「7を0個掛け合わせるってどういうこと？」「7を1個も掛け合わせないんだから7^0=0では？」という疑問は消えないはずです。

そこで、指数の法則に注目してみましょう。

まず、(7^2)×(7^3)を7^●の形に直してみてください。

(7^2)×(7^3)
=(7×7)×(7×7×7)
=7^5←7を5個掛け合わせている

(7^2)×(7^3)は、「7を2個掛け合わせた式」×「7を3個掛け合わせた式」なので、結果的に7^5と書けます。つまり、(7^2)×(7^3)は、指数どうしを足して7^(2+3)の形に書き換えられるということです。

この指数の足し算ができることを一般的に表すと、次のようになります（このルールは「指数法則」の中の一つです）。

a≠0でmとnが整数のとき
(a^m)×(a^n)=a^(m+n)
※文字式では本来×を省略しますが、ここでは分かりやすいように×記号を付けています。

ここで、7^0と他の7の累乗、例えば7^3の掛け算を考えてみましょう。

(7^0)×(7^3)
=7^(0+3)←指数を足し算する
=7^3

7の累乗どうしの掛け算なので、指数を足して計算ができます。式を書き換えると(7^0)×(7^3)=7^3となりました。これは、7^0が1と同じ数であるということを意味していますよね。

(7^0)×(7^3)=7^3
1×(7^3)=7^3
※もし7^0=0なら(7^0)×(7^3)=0×(7^3)=0になるはず

同じことは、（a≠0のとき）a^0という形をした累乗すべてで成り立ちます。よって、a^0=1が言えるのです。

7^0は「1個も7を掛け合わせていない」のだから、一見0になるように感じます。

もし、7^0が0であれば、(7^0)×(7^3)=0×(7^3)=0となるはずです。しかし、実際は指数法則より(7^0)×(7^3)
=7^(0+3)=7^3がいえるので、7^0は1であると分かります。

数学ではイメージ的にはおかしいなと思っても、論理的に考えていくと最後は納得できる事柄がたびたび登場します。今回の問題が面白かったという人は、引き続き数学の他の分野も復習してみてはどうでしょうか？

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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