工夫して20秒で計算してみて！「1511÷9」→暗算できる？

余りのある割り算は、なかなか暗算しづらいものです。桁数が大きい場合は特に難しく感じるでしょう。

しかし、9で割る割り算には暗算に適した特別な計算方法があります。

どんな方法か気になる人は、ぜひ記事を読んでみてください。

問題

次の計算を暗算でしなさい。答え（商）は整数とし、割り切れない場合は余りも求めてください。
1511÷9

※制限時間は20秒です。

解答

正解は、「167余り8」です。

頭の中で筆算をして、この答えを出そうとするのはなかなか難しいですね。

しかし、次の「ポイント」で紹介する方法を使うと、あっさり答えが求められます。どんな方法か、早速見てみましょう。

ポイント

この問題のポイントは「割られる数の各桁の数を順番に足していくこと」です。

具体的には、次のようにします。

まず答えの百の位は「割られる数1511の千の位の数」をそのまま持ってきて1とします。次に、答えの十の位は「割られる数1511の千の位と百の位の数を足して」、1+5=6とします。答えの一の位は「割られる数1511の千の位と百の位と十の位の数を足して」、1+5+1=7とします。

これで答えは、167だと分かります。

また、余りは「割られる数のすべての位の数を足す」と求められます。1+5+1+1=8ですから、余りは8です。

よって、この問題の答えは「167余り8」です。

この暗算方法をまとめると、次のようになります。

<四桁の数(1000a+100b+10c+d)÷9の暗算方法>
※aは千の位、bは百の位、cは十の位、dは一の位の数を表す（aは1以上9以下の整数、b、c、dは0以上9以下の整数）
以下の手順で、答えの各桁と余りの数を計算します。
手順1：答えの一番大きい位（ここでは百の位）=a
手順2：答えの二番目に大きい位（ここでは十の位）=a+b
手順3：答えの三番目に大きい位（ここでは一の位）=a+b+c
手順4：余り=a+b+c+d

※手順1〜3の計算の途中で答えが10以上になった場合は、繰り上げる。
※手順4で余りが9以上になった場合は、一の位に9の個数分の数を繰り上げる。

割られる数の各位を足していくだけなので、手順は簡単です。特に今回のように割られる数の各位の数がさほど大きくない場合は、繰り上がりも発生しづらく、あっという間に答えが出ることも多いですよ。

【おまけ】この計算が成り立つ理由

最後に、この計算が成り立つ理由について考えてみましょう。

まず前述の手順説明と同様、四桁の数を1000a+100b+10c+dとします。aは千の位、bは百の位、cは十の位、dは一の位の数を表しています（aは1以上9以下の整数、b、c、dは0以上9以下の整数）。

この数が9×■+▲の形になるように変形していきます。(1000a+100b+10c+d)÷9をしたときに、■が割り算の答えで、▲が余りになるからです。

早速やってみましょう。

1000a+100b+10c+d
=(900a+100a)+100b+10c+d←1000aを900aと100aに分解
=900a+100(a+b)+10c+d←100のかたまりをまとめる
=900a+{90(a+b)+10(a+b)}+10c+d←100(a+b)を90(a+b)と10(a+b)に分解
=900a+90(a+b)+10(a+b+c)+d←10のかたまりをまとめる
=900a+90(a+b)+{9(a+b+c)+(a+b+c)}+d←10(a+b+c)を9(a+b+c)と(a+b+c)に分解
=900a+90(a+b)+9(a+b+c)+(a+b+c+d)
=9{100a+10(a+b)+(a+b+c)}+(a+b+c+d)←9のかたまりをまとめる

※文字式なので×（掛ける）記号を省略しています。

9{100a+10(a+b)+(a+b+c)}を9で割った答えは、100a+10(a+b)+(a+b+c)になります。

すなわち答えの百の位はa、十の位はa+b、一の位はa+b+cとなるので、それぞれの位の数が割られる数の各桁を順に足した数になっていることが分かりますね。

さらに、余りは(a+b+c+d)の部分となり、割られる数の各桁の数すべてを足した形になっているのが確認できました。

これで、先に紹介した暗算手順が成り立つことが分かりましたね。

まとめ

今回は、9で割る割り算の暗算方法を紹介しました。

この暗算方法は、インド式計算法の一種として知られています。

一見不思議な計算方法ですが、どうしてこの方法で答えが出せるのかを考えていくと、数学的にちゃんと成り立っていることが分かります。

各桁を足していく最中に繰り上がりが多いと少し面倒になりますが、今回のように割られる数の各桁の数が小さければ、かなり素早く答えを出せることも多いです。÷9の割り算を見たら、ぜひ一度使ってみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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