これどうやって計算するか覚えてる？「五角形の内角の和は？」→正しく計算できる？

今回は、五角形の内角の和を求めてみましょう。

「多角形の内角の和を求める式」を覚えていなくても大丈夫です。

他の図形を利用すれば、自分で計算式を立てて、答えが出せますよ。

問題

五角形の内角の和を求めなさい。

正解は、「540°」です。

どうやって計算すればよいか、分かったでしょうか？

次の「ポイント」では、「ある図形」を使って五角形の内角の和を求める方法を考えていきます。ぜひ、ご覧ください。

多角形の内角の和を求めるポイントは、「三角形の内角の和をベースに考えること」です。

というのも、三角形の内角の和は180°だと決まっているからです。多角形は線を引くことで三角形何個かに分割できるので、そこから答えを求めることができます。

では、さっそく五角形を三角形に分割して、この問題の答えを出してみましょう。

まずは、一つの頂点から他の頂点に向けて線を引いていきます。この方法で分割すると、五角形の内角が三角形の内角の中に重複なく、かつ、もれなく含まれる形になります。

上の画像をご覧ください。どのパターンでも、五角形は三つの三角形に分割できていますね。よって、五角形の内角の和は三角形の内角の和×3で求めることができます。

180°×3=540°

前述の分割方法は「五角形の内角が三角形の内角の中に重複なく、かつ、もれなく含まれる形に分割」することに焦点を置いていました。

しかし、「五角形内部の一点から各頂点に線を引いた場合」はどうでしょうか。

この場合、五つの三角形ができますが、分割した三角形の内角の和と五角形の内角の和は一致しません。内部の点周りの（上の図でいえば赤い色が付いている）三角形の角は、五角形の内角に含まれないからです。

ただし、点の周りに集まっている角の合計は360°だと分かっています。そこで、三角形五個分の内角の和を一度出してから、五角形の内角に含まれない360°を後で引いてみましょう。

180°×5−360°
=900°−360°
=540°

この方法でも、同じ540°という答えが求められましたね。

今回の問題では、五角形を三角形に分割して、内角の和を求めました。

実は、n角形（nは3以上の整数）の内角の和は、次の式で求めることができます（多角形の内角の和の式）。

180°×(n−2)
=180°×n−360°

この式がどうして成り立つのかは、今回のように多角形を三角形に分割していくと分かります。また多角形を三角形に分割する考え方を理解していれば、この式を自力で作ることも可能ですよ。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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