大人でも分からない数学「星型図形の角度は？」分かったらスゴい

算数・数学の図形問題のひとつである「角度を求める問題」。三角形や四角形をはじめ、さまざまな図形が登場します。

今回は、そんな“角度”にまつわる問題に挑戦してみましょう。

問題

次の図において、印のついた角の大きさの和を求めなさい。

星型の図形にある5つの角の和を求める問題です。

それぞれの角の大きさは与えられていません。「数値がないのに、どうやって足すの？」と思うかもしれませんが、実はきちんと求めることができるのです。

 

 

今回の問題の答えは 「180度」 です。

解説

それぞれの角の大きさが分からないため、単純に足し算することはできません。

そこでポイントになるのが、「別の等しい角に置き換える」という考え方 です。

少し詳しく見ていきましょう。

三角形では、「三角形の1つの外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しい」という性質があります。

図で示すと下の通りです。これを「外角の定理」といいます。

それぞれの角の大きさは分からなくても、2つの角を足して1つの角として考えることができるのです。

さらに、もうひとつ使うのが「対頂角は等しい」 という性質です。

2本の直線が交わってできる向かい合う角は等しくなります。

 

それでは、今回の問題を見てみましょう。

外角の定理をうまく使うと、別の場所で「角の和」という形に置き換えることができます。

最終的には、B＋E＋(A＋D＋C) ＝ A＋B＋C＋D＋E
となり、これは三角形の内角の和になります。

したがって、その和は 180度 です。

まとめ

一つひとつの角度は分からなくても、全体として見ることで答えを導くことができる問題でした。

まるでパズルのように角度を組み立てていくのが面白いところですね。

ひらめきも大切ですが、基本的な知識が少しあるだけで、問題はぐっと楽しくなります。

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監修：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」。

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