どこから計算するのが正解？「Xの角度は？」→正しく計算できる？

三角形の角度を求める問題には、様々なパターンがあります。

応用的な問題でもどのように計算するのかが理解できれば、次に同じパターンの問題に出会ったときにスムーズに答えられるはずです。

今回は、そんな「三角形の角度の応用問題」にチャレンジしてみましょう。

問題

次のXの角度を求めなさい。
ただし、同じ記号のついた角の角度はそれぞれ等しいとします。

正解は、「110°」です。

少し難しく感じたかもしれませんが、答えを出すのに必要なのは「三角形の内角の和が180°」という基本事項だけです。

考え方は次の「ポイント」で解説していますので、ぜひご覧ください。

この問題のポイントは、「〇と▲をセットで扱うこと」です。

〇と▲の角度を別々に出そうとすると、時間を浪費してしまうのがこの問題の恐ろしいところです。

では、どうすればよいのでしょうか。

まず、以下の画像をご覧ください。今回の問題には「大きい三角形」（下図左赤枠）と「小さい三角形」（下図右青枠）が含まれていますね。この二つの三角形の内角の和について、式を作ってみましょう。

三角形の内角の和は180°と決まっているので、どちらの三角形でも次の式が成り立ちます。

<大きい三角形>
〇+〇+▲+▲+40°=180°
2×(〇+▲)+40°=180°←〇+▲のセットが二つあると考えて式を変形する

<小さい三角形>
〇+▲+X=180°

ここで、大きい三角形の式を次のように変形し、「〇+▲」の値を求めます。

2×(〇+▲)+40°=180°
2×(〇+▲)+40°−40°=180°−40°←両辺から40°を引く
2×(〇+▲)=140°
2×(〇+▲)÷2=140°÷2←両辺を2で割る
〇+▲=70°

この〇+▲=70°を小さい三角形の式に代入すると、Xの値が求められます。式をX=の形に持っていくのがコツです。

〇+▲+X=180°←〇+▲=70°
70°+X=180°
70°−70°+X=180°−70°←両辺から70°を引く
X=110°

これでXは110°だと分かりましたね。

今回の問題のようなパターンでは、〇+▲をまとめて求めることがポイントになります。

〇と▲のような分からない角度があると、ついつい「一つずつ」角度を求めたくなるかもしれません。しかし、今回のように「一つずつの角度は分からなくとも答えが出せる」問題もあります。

すべての角度を求めることにこだわらず、まずは図に描かれた情報から作れそうな式はすべて書き出してみるとよいでしょう。並んだ式を見ているうちに、解法を思いつくこともあるかもしれませんよ。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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