工夫して20秒で計算してみて！「4^5÷2^10」→暗算できる？

今回の問題には、指数の大きな累乗が登場します。

指数が大きい累乗は、そのままの形では計算しづらいことが多いでしょう。

暗算するにはなんらかの工夫が必要ですよ。

問題

次の計算を暗算でしなさい。
4^5÷2^10

※制限時間は20秒です。

正解は、「1」です。

答えは結構簡単な数になりましたね。

どうやって計算すれば、楽にこの答えがだせるのでしょうか？

次の「ポイント」で確認してみましょう。

この問題のポイントは、「割られる数と割る数を2^●の形にそろえること」です。

まず、2^●という式はどんな計算を表しているのか、明確にしておきましょう。

2^●は、2を●個掛け合わせるという意味です。例えば、2^3は2を3個掛け合わせる計算で、掛け算に直すと2×2×2になります。

2^3
=2×2×2
=8

このように、ある数を何個か掛け合わせる計算のことを「累乗」と呼びます。

掛け合わせる個数は、指数で指定します。指数は通常、掛け合わせる数の右上に小さく書きますが、上付き文字が使えないテキストでは^という記号を使って指数を表すことがあります。本記事でも指数を表すのに^を使っています。

ここで今回の問題を再確認してみましょう。

4^5÷2^10

この式は「4を5個掛け合わせた数」を「2を10個掛け合わせた数」で割るという意味です（累乗は割り算よりも先に計算されるため）。

さて、この問題をそのまま計算するなら、まず4^5を、次に2^10を計算し、それぞれの計算結果を割り算することになります。

しかし、4を5個掛け合わせたり、2を10個掛け合わせたりするのはとても大変です。まして今回は、「20秒以内の暗算」という条件が付いているので、これらの累乗をそのまま計算するのは現実的ではありません。

そこで、割られる数4^5を2^●の形にすることを考えます。

まず、4^5を掛け算の形4×4×4×4×4に直します。ここで4=2×2なので、式は2の掛け算に変形できます。

4^5
=4×4×4×4×4
=(2×2)×(2×2)×(2×2)×(2×2)×(2×2)←4=2×2
=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2←2が10個掛け合わされている

2を10個掛け合わせた式は2^10と累乗の形で表せますね。よって、4^5=2^10が成り立ちます。

4^5
=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2
=2^10

ここで、最初の式にもどりましょう。

4^5を2^10に変換すると、この割り算は「同じ数÷同じ数」という形をしていたのだと分かります。

4^5÷2^10
=2^10÷2^10←4^5を2^10にする

同じ数どうしの割り算の答えは（0で割る場合以外は）1になります。

2^10÷2^10
=1

割られる数と割る数を2^●の形にすることで、暗算しやすい式に変形できましたね。

今回の問題では、4^5を2^10の形に変形して計算を楽にしました。

上の解説では4^5を一度掛け算の形に直すという過程を踏みましたが、次の「指数法則」を使うとより簡単に変形ができます。

(a^r)^s=a^(rs)←rsはr×sのこと
※a>0、rとsは有理数

4=2×2=2^2であることから、4^5=(2^2)^5がいえます。上の指数法則を使うと(2^2)^5=2^(2×5)=2^10と楽に変形ができますね。

指数法則には他にもいくつかの種類があります。指数法則を使いこなせるようになると、累乗の計算はぐんと楽になりますよ。ぜひ、他の法則についても調べてみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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