工夫して10秒で計算してみて！「19×19×19÷19÷19」→暗算できる？

二桁の掛け算や割り算は暗算しづらいものです。今回の問題もいきなり二桁の掛け算が連続するので、難易度が高いように見えるかもしれません。

そんなときは、順番に計算せず、「式全体」を落ち着いて眺めてみましょう。

素早く暗算する手掛かりが見つかるかもしれませんよ。

問題

次の問題を暗算で計算しなさい。
19×19×19÷19÷19

※制限時間は10秒です。

解答

正解は、「19」です。

今回の問題は、19の掛け算と割り算だけで構成されています。

この点に気が付けたら、簡単に暗算できる方法が見えてきますよ。

具体的な暗算方法は、次の「ポイント」にて紹介します。ぜひ、ご覧ください。

ポイント

この問題のポイントは「同じ数の掛け算と割り算を相殺すること」です。

掛け算と割り算で構成された式は、次のように分数を頭の中に思い浮かべると計算しやすくなります。掛けられる数や掛ける数は分子に、割る数は分母に持ってくるイメージです。

このイメージが成り立つ理由は、整数を分母1の分数に直して計算してみると納得できますよ。

19×19×19÷19÷19
=(19/1)×(19/1)×(19/1)÷(19/1)÷(19/1)
=(19/1)×(19/1)×(19/1)×(1/19)×(1/19)←分数の割り算では割る数の分子と分母を逆にして掛ける
=(19×19×19×1×1)/(1×1×1×19×19)←分数の掛け算では分子どうし、分母どうしを掛け合わせる
=(19×19×19)/(19×19)

分数では、分子と分母を同じ数で割る「約分」ができます。

そこで、次の画像のように分子と分母の19を19で割って1にしていきます。

(19×19×19)/(19×19)
=(19/1)
=19

残った数「19」がこの問題の答えになるというわけです。

さて、この背景が理解できていれば、式を見たときに「同じ数を掛けて割る計算のペアを見つけて相殺し、1にする」ことでより素早く答えが出せるようになります。

19×19×19÷19÷19←×19÷19のペアが二組ある
=19×1
=19

ただし、次のように掛け算や割り算の途中に足し算、引き算が入った場合は、その前後にある同じ数の掛け算と割り算は相殺できないので注意しましょう。

19+19×19+19÷19←途中で+が入っているので、×19と÷19は相殺できない

まとめ

今回の問題は、式の中の同じ数に注目することで、楽に計算ができました。

式の中の同じ数の掛け算と割り算が出てくる場合は、相殺できることがあります。どうして相殺できるのかは、掛け算と割り算を分数の形に書き直してみるとよく分かります。「分子と分母にある同じ数は約分ができるから」です。掛けられる数と掛ける数は分子に、割る数は分母に持ってくるのがコツです。

他の暗算問題でも、どのような工夫をしたら計算が早く終わるのか考えてみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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