「3x^2-12を“因数分解”しなさい。」あなたは“因数分解”を覚えていますか？

中学3年生で学んだ「因数分解」を覚えていますか。

数式を扱ううえで、因数分解を用いた式変形はとても大切な考え方のひとつです。中学生の頃は公式を覚えた、という方もいるかもしれませんが、公式だけでなく、式変形の流れを理解することも重要です。

今回は、因数分解の基本的な式変形に挑戦してみましょう。

問題

次の式を因数分解しなさい。

3x^2-12

そもそも「因数分解」の「因数」という言葉の意味をご存じでしょうか。

因数とは、かけ算の形で表したときの、それぞれの数や式のことを指します。

たとえば、30＝5×6と表すことができるので、「5と6は30の因数」と言えます。

6はさらに分解できそうですね。30を分解できるところまで分解すると、30＝2×3×5 となります。つまり、「2と3と5は30の因数」です。

これ以上分解できない数（素数）まで分解することを「素因数分解」といいます。

今回の問題では、xという文字が含まれていますが、考え方は同じです。

「因数分解」とは、かけ算の形に変形することだと考えればよいのです。

では、答えを確認してみましょう。

 

 

答えは「3(x+2)(x-2)」です。

解説

因数分解の基本的な手順は、次の通りです。

1. 共通因数でくくる
2. 公式を使う

因数分解と聞いて、すぐに公式を思い浮かべた方もいるかもしれません。しかし、まずは「共通因数」を見つけることが大切です。

3x^2 と 12 に共通している因数を探します。どちらも 3 を因数に持っています。
（12＝3×4 となりますね。）

したがって、元の式は

3(x^2-4)

と変形できます。

 

次に、カッコの中を因数分解します。ここで公式を使います。

x^2-y^2=(x+y)(x-y)

4＝2^2 なので、

3(x^2-4)＝3(x^2-2^2)＝3(x+2)(x-2)

となります。

 

「x^2-y^2=(x+y)(x-y)」の公式は、「和と差の積」と呼ばれることもあります。

x+y はたし算（和）、x-y はひき算（差）を表し、(x+y)(x-y) の間には、かけ算（積）が省略されています。

まとめ

因数分解は何に使うのだろう、と感じる方もいるかもしれません。しかし、この「和と差の積」の公式は、うまく活用すると計算をぐっと楽にしてくれます。

たとえば、101×99 の計算を筆算で行うと、少し手間がかかりそうですね。

そこで、次のように考えてみます。

101×99
＝ (100+1)(100-1)
= 100^2-1^2
= 10000-1
= 9999

和と差の積の公式を使うことで、計算を簡単に行うことができます。慣れてくると、暗算でもスムーズに解けるようになるでしょう。

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監修：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」。

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