これどうやって計算するか覚えてる？「十二角形の内角の和は？」→正しく答えられる？

今回は、十二角形の内角の和を求めてみましょう。

角が多くて複雑に見えるかもしれませんが、難しく考える必要はありません。

ポイントさえ押さえてしまえば、割と簡単に計算ができますよ。

問題

十二角形の内角の和を求めなさい。

正解は、「1800°」です。

このような多角形の内角を求める問題では、多角形を一度「ある形」に分割してから計算すると分かりやすいです。

詳しくは、次の「ポイント」にて図入りで解説します。ぜひ、ご覧ください。

この問題のポイントは、「十二角形を三角形に分割すること」です。

というのも、三角形の内角の和は180°と決まっているため、三角形を利用すると内角の和を求めやすくなるからです。

分割の仕方は二通りあります。

まずは、一つの頂点から他の頂点に向かって線を引き、三角形を作る方法です。

以下の図のように、一つの頂点Aから他の頂点に向かって線を引くと、三角形が10個できます。

なぜ10個なのかというと、三角形を作るためには、頂点Aの隣の2つの頂点には線を引いてはいけないからですね。以下の図では、青丸で囲まれた頂点が除外されています。

12個の頂点から2個引くため残る頂点は10個、できる三角形の数も10個となるのです。

あとは、三角形10個の内角の角度の合計を求めれば、答えが出てきます。三角形の内角の和は180°なので、これを10倍すればよいですね。

180°×10=1800°

もう一つの方法は、中心の一点から頂点に向かって線を引く方法です。

この方法では、頂点の数と同じ12個の三角形ができます。ただし、中央の一点に集まっている角は十二角形の内角に含まれません。この中心に集まっている角の合計は、以下の図の通り360°になります。

よって、まず三角形12個の内角の合計を求めた後に360°を引けば、十二角形の内角の和が求められます。

180°×12=2160°
2160°−360°=1800°

多角形の内角の和は、多角形を三角形に分割すると求められます。

今回紹介した考え方を一般化し、n角形（nは3以上の整数）の内角の和を求める式を考えると、次のようになります。

180°×(n−2)←方法1で紹介した形
=180°×n−360°←方法2で紹介した形
※上の式を分配法則を使って展開すると、下の式の形になります。

この式を覚えておけば、どんなに角の多い多角形の内角の和でも計算できますよ。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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