工夫して10秒で計算してみて！「97×98」→簡単に計算できる？

二桁同士の掛け算の計算を、筆算以外の方法で計算することはできますか。キリのいい数字に変えることで簡単に答えを出すことができてしまいます。一緒に学んでいきましょう。

問題

次の計算をしなさい。
97×98

小学生の時に習った筆算を使えばできそうですが、頭でしようとすると結構大変ですね。

ここでは、ある工夫をして筆算を使わずに計算していきます。

解説

答えは「9506」です。

では、どのような工夫をして計算しているのでしょうか。次のポイントにまとめましたので、ご確認お願いいたします。

ポイント

今回使うのは「インド式計算法」です。インド式計算法の「100に近い数」の掛け算は、筆算をするよりも圧倒的に早く、暗算で答えを出せる方法です。以下に手順を書きます。

手順１：100との差(不足分)を求める
97=100−3
98=100−2

手順２：不足分の合計を100から引く
100−2−3=100−(2+3)=95 
「95」が答えの上2桁になります

手順３：手順１で出てきた100との差(2と3)同士を掛け算する
3×2=6
この「6」が答えの下2桁になります。※1桁になった場合は「06」とします。

よって答えは「9506」となります。こちらはインド式計算法の一例になります。

上記の方法が成り立つ理由

では、先ほど紹介した公式は、なぜ成り立つのかを説明します。aとbを100との差とすると、100に近い2つの数は「100−a」と「100−b」と置くことができます。これを掛け算するのですが、中学3年生で習う「展開」という公式を使って計算します。ただし、a,bは一桁(0～9)とします。

(100−a)(100−b)
=100×100+100×(−b)+100×(−a)+(−a)×(−b)
=10000−100(a+b)+ab
=100{100−(a+b)}+ab

ここで 100{100−(a+b)} は「100の倍数」なので、下2桁が必ず00になります。つまり答えの“上の部分”を作ります。
また今回のように a,bが一桁(0～9)なら、a+bは最大でも18なので 100−(a+b) は必ず二桁になります。

さらにabは0〜81となり必ず二桁以下なので、答えの“下2桁”としてそのまま書けます（一桁のときは06のように0を付けます）。

少し難しい証明ですが、覚えておくと便利なものになります。

まとめ

100に近い数同士の掛け算は、紹介した公式を使えば簡単に答えを出すことができます。公式を覚えるだけではなく、証明も理解することによって公式を自分で導くことができるようになります。

計算は、一問や二問だけしてもあまり意味がありません。計算こそたくさん演習を積んで、理解度を深めていくことがとても大事になってきます。類似問題にもぜひチャレンジしてみてください。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：ニシケン
2年間、地方の学習塾に勤めて独立。現在はプロの家庭教師として働きながら、都内の難関私立中学や高校の予想問題や適性検査の執筆活動を行っている。たくさんの受験生のためになる良質な問題を作成し、どんな人が見てもわかりやすい解答解説作成を志す。

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