これどうやって計算するか覚えてる？「−1^100」→正しく計算できる？

算数から数学へ変わると、抽象的な概念や独特な表記ルールが増えて難しく感じられますよね。学習したルールをうっかり忘れてしまい、苦手意識を持ってしまった方も多いかもしれません。ですが、基礎的なお約束ごとさえしっかり確認しておけば、複雑に見える計算問題も驚くほどシンプルに解くことができますよ。

問題

次の計算をしなさい。
−1^100

正解は、「−1」です。

「マイナスはどうしたらいいの？」「右上の100はどう計算すればいいの？」と迷っていた人にとっては、意外に簡単な答えだったのではないでしょうか。

どうしてこの答えになるのかは、次の「ポイント」を見ると分かりますよ。

負の数を含む累乗問題のポイントは、「指数の位置」です。

なお、累乗とは、同じ数を何個か掛け合わせる計算のことです。何個掛け合わせるかは、「指数」という数で表します。

指数は本来、掛け合わせる数の右上に小さく書きます。ただし、上付き文字が使えないテキストや表計算ソフトでは^を使って指数を表すことがあります。

この記事でも、指数は^を使って表しています。

例えば、2^3は2を3個掛け合わせるという累乗の式です。累乗は、以下のように掛け算に直して計算できます。

2^3
=2×2×2
=8

※掛け算に直すとき、2^3=2×3としないように注意しましょう。指数は掛ける数とは別物です。

さて、ここで今回の問題を見直してみましょう。

−1^100

先に解説した通り、^100は指数を表します。ただし、この式は「なにを」100個掛け合わせるのかが分かりにくいですね。

間違えやすいのが、−1^100を「−1を100個掛け合わせる式」と解釈することです。

もし−1を100個掛け合わせる計算であれば、この式の答えは1になります。なぜなら、負の数×負の数の答えは必ず正の数になるからです。

掛け合わせる−1の数は100個、つまり偶数なので、(−1)×(−1)=1のペアが50個ちょうど生まれることになり、すべての掛け算の答えも1になります。

しかし、この問題の答えは−1になっていました。どうしてかというと、−1^100という書き方は、−1ではなく1を100個掛け合わせた答えにマイナスを付けるという意味になるからです。

−1^100
=−(1×1×1×...×1)←1を100個掛け合わせて−を付ける
=−1

これで今回の問題の答えが出ましたね。

なお、「−1を100個掛け合わせる」という意味の式は、次のような形になります。

(−1)^100←負の数を囲った()の外に指数がある
=(−1)×(−1)×(−1)×...×(−1)←−1を100個掛け合わせる
=1

二つの式の違いが分かるようになりましょう。

負の数を含む累乗では、指数が括弧の外にあるか数字だけに付いているかで「何乗するか」の対象と答えの符号が変わります。カッコの有無と指数の位置を注意深くチェックする習慣を身につけて、計算ミスを防ぎましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

スピード勝負！他の問題にも挑戦しよう！

【脳トレ】角度を求める方法、覚えてる？→意外と忘れがちな『図形問題』特集