どうやって計算するか覚えてる？「(−1)^6」→正しく計算できる？

今回は、負の数の累乗問題にチャレンジしてみましょう。

負の数の累乗を計算するときは、ある注意点が存在します。

さて、この注意点とは何でしょうか？問題の中で確かめてみてください。

問題

次の計算をしなさい。
(−1)^6

解答

正解は、「1」です。

問題の答えを負の数にしないことが大事ですよ。

次の「ポイント」では、負の数の累乗で確認しなければならない大事なことを紹介しています。ぜひ、ご覧ください。

ポイント

この問題のポイントは、「指数が()の外についていること」です。

まず、指数とは何かを復習しておきましょう。

指数とは、「同じ数を何個掛け合わせるのか」を表す数です。例えば、2^3では、3が指数になります。この式は「2を3個掛け合わせる」という意味なので、2×2×2=8と計算できます（2^3のように同じ数を何個か掛け合わせたものを、累乗といいます）。

※指数は本来、掛け合わせる数の右上に小さく書きます。しかし、上付き文字が使えないテキストなどでは^を使って指数を表すことがあります。この記事でも、指数表現には^を使っています。

さて、指数が負の数につくときは、それが負の数全体を囲う()の外についているのか否かで、計算結果が変わる場合があります。

今回のように負の数全体を囲う()の外に指数がついている場合、それは「()の中の負の数全体を指数個掛け合わせる」という意味になります。

(−1)^6であれば、−1を6個掛け合わせるという意味なので、式は以下のように計算できます。

(−1)^6
=(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)

負の数を含んだ掛け算のルールは、次のようになっています。

＜答えの符号の決め方（掛け算編）＞
・同符号どうしの掛け算の答え→正の数（+）になる
例：−1×(−1)=1
・異符号どうしの掛け算の答え→負の数（−）になる
例：−1×1=−1

上のルールに注意して、左から順番に計算していきましょう。

(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)←負の数×負の数
=1×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)←正の数×負の数
=−1×(−1)×(−1)×(−1)←負の数×負の数
=1×(−1)×(−1)←正の数×負の数
=−1×(−1)←負の数×負の数
=1

掛け算のたびに符号が変わり、最終的な答えは1になりました。

このように、途中の計算で符号が変わっていくのは、正の数の累乗にはない負の数の累乗ならではの特徴です。この問題が(−1)^7であれば、1にもう一度−1を掛けて、答えは−1となっていたでしょう。

さて、もしこの問題が、−1^6だったらどうなるのでしょうか？

これは、1^6に−（マイナス記号）をつけたものと解釈します。1^6=1×1×1×1×1×1=1なので、−1^6=−1と計算するのです。

(−1)^6の答えとは、符号が変わってしまいましたね。

負の数の累乗では、答えの符号を決めるために、指数が負の数を囲う()の外にあるのかどうかを確認することがとても大事になるのです。

まとめ

負の数の累乗では、指数が負の数を囲う()の外についているかどうかで答えの符号が変わることがあります。

負の数どうしの掛け算の答えは、正の数になります。その正の数に負の数を掛けると、答えは負の数になります。このように、負の数の累乗では、掛け算の途中で答えの符号が次々と変わっていく点に注意しなくてはなりません。指数の数によって、答えが正の数になったり、負の数になったりするのです。

一方で、−1^6のように、指数が数字部分に直接ついている形になると、これは1^6の答えにマイナス記号をつけているという意味になります。

この二つの指数の付き方について、違いを理解できるようになりましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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