工夫して20秒で計算してみて！「92/115を約分しなさい」→20秒でチャレンジ

分数は、分子と分母を同じ数で割ってもその大きさは変わりません。

この特徴を利用して、分子と分母を同じ数（公約数）で割り、より簡単な数で表すことを「約分」と言います。

今回は、この約分を効率的に進めるための方法を考えてみましょう。

問題

92/115を約分しなさい。

※制限時間は20秒です。

解答

正解は、「4/5」です。

分子の92と分母の115は、どちらも23で割ることができます。

92/115
=(92÷23)/(115÷23)
=4/5

しかし、この92と115の公約数23を見つけるのはなかなか大変です。

普通、公約数を見つけるときには、分子と分母を2、3、5...と素数で順番に割っていき、分子と分母を割り切る素数を探します。しかし、23にたどり着くまでにはかなりの時間がかかってしまうでしょう。

そこで、次の「ポイント」で紹介している方法を使って、効率的に公約数を探してみましょう。

ポイント

二つの数の公約数を素早く見つける方法は、二つの数の引き算の「答えの約数」を公約数候補にあげることです。

手順はこうです。

ステップ1.
公約数を見つけたい二つの数で引き算をする。
115−92=23

ステップ2.
答えの約数を考える。
23の約数は、1もしくは23

ステップ3.
115も92も23で割り切れるか確かめる。
115÷23=5
92÷23=4

→よって、23は115と92の公約数（この場合は最大公約数）

今回は、引き算の答え23がそのまま115と92の公約数になりました。

そのため、「ステップ2や3は要らないのでは」と思う人もいるかもしれませんが、このような結果になったのは偶然にすぎません。二つの数の引き算の答えがそのまま二つの数の公約数になるとは限らないことに注意してください。

例えば、40と16の公約数を考えるとしましょう。

二つの数の引き算の答えは40−16=24です。しかし、40÷24も16÷24も割り切れませんね。一方、24の約数である8は40と16を割り切りますから、二つの数の公約数は「引き算の答えの24ではなく、その約数である8」になります（ただし、24の約数3は、40も16も割り切りません。答えの約数のすべてが元の二数の公約数と言えない点にも注意しましょう）。

このようなことが起こりうるからこそ、ステップ1の引き算の答えを見ただけで、「これが二つの数の約数だ」と考えるのは危険です。ステップ2で答えの約数を考え、ステップ3で実際に割り切れるか試してみる必要があるのはそのためです。

少し手間に感じるかもしれませんが、やり方を身につけておくと、見つけにくい公約数の候補を絞るときに役立ちますよ。

この方法が成り立つのはなぜ？

最後に、この方法で二つの数の公約数が見つかる理由を考えてみましょう。

まず、二つの数AとBの公約数をcとします。すると、A=a×c、B=b×cと表せます（A、B、a、b、cは整数）。

このとき、A−B=a×c−b×cです。

ここで、分配法則の逆により、式は次のように変形できます。

A−B
=a×c−b×c
=(a−b)×c

二つの数の引き算の答え(a−b)×cは、cの倍数になっているので、AとBの公約数cを約数に持ちます。

ただ、a−bもまた「二つの数の引き算の答えの約数」となっています。a−bはAとBの約数とは限りませんね。

そのため、引き算の答えの約数のうち、どれがA、Bの公約数cに当たるのかは、実際にAとBを割ってみて検討しなければならないのです。

まとめ

今回は、約分の過程で大事になる「分子と分母の公約数」を効率よく絞り込む方法について紹介しました。

まず、二つの数の引き算をし、答えの「約数」を並べます。この約数の中に、二つの数の公約数が含まれています。ただし、引き算の答えがそのまま、あるいは答えの約数のすべてが二つの数の公約数になるわけではないことに注意してください。

約分がしにくい分数を見たときには、今回紹介した方法をぜひ試してみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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