これどうやって計算するか覚えてる？「この三角形の角度は？」→正しく計算できる？

図形分野において、三角形の角度を求める問題は定番中の定番です。今回は、2つの三角形が接した図形から指定の角度を導き出す問題に挑戦してみましょう。少し難しく感じるかもしれませんが、テストや問題集で頻出のパターンですので、解き方のコツをしっかり押さえておきましょう。

問題

?に当てはまる三角形の角度を求めなさい。

正解は、「30°」です。

まず、基本事項として「三角形の三つの角の合計は必ず180°になる」ことを押さえておきましょう。ここから考えを広げていけば、この問題の計算方法が分かるはずです。

次の「ポイント」では、30°という正解にたどり着くまでの考え方を解説していきます。ぜひ、ご覧ください。

この問題のポイントは、「共通の外角に注目すること」です。

外角とは、多角形の一辺の延長線と隣の辺との間にできる角のことです。図形の外側にできる角だと覚えておくと、分かりやすいですよ。

さて、下の図を見てください。この図の外角はAとCの角度を合計したものになります。

なぜなら、「三角形の三つの角の合計は必ず180°になる」のでA+B+C=180°、さらに外角とBの角を足すと一直線が生まれるので外角+B=180°だからです。

A+B+C=180°⇔(A+C)+B=180°
外角+B=180°

A+C＝外角

AやCと隣り合う外角でも同じことが言えます。よって、三角形の外角は、「外角と隣り合わない二つの内角の合計と大きさが同じ」だといえます。この性質が今回の問題を解くカギになります。

さて、この問題には上と下、二つの三角形があります。

下図を見てください。二つの三角形で共通の外角が中央にあるのが分かりますね。

まずは上の三角形に注目し、この外角の大きさを求めてみましょう。外角は「隣り合わない二つの内角の合計と大きさが同じ」なので、20°+60°=80°が成り立ちます。

次に下の三角形に注目します。80°は下の三角形の外角の大きさでもありますから、?+50°=80°になるはずです。

これで?に当てはまる数は、30°だと分かりますね。

20°+60°=80°←共通の外角の大きさを求める
?+50°=80°より?=30°

次のように計算してもOKですよ。

20°+60°=?+50°←共通の外角に注目すると20°+60°と?+50°は等しいことが分かる
80°=?+50°
?=30°

2つの三角形が接する問題では、「外角は隣り合わない2つの内角の和に等しい」という性質を活用するのがポイントです。共通する外角に着目できれば、一見複雑な図形でもスムーズに解答へたどり着けますよ。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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