意外に間違える人が多いかも…？「ルート120と11」→どちらが大きい？

「√（ルート）」で表された数の大きさを正しくイメージできているでしょうか。

見た目だけでは判断しにくいですが、考え方を押さえれば比較は難しくありません。

今回は、平方根と整数の大小関係を確認していきましょう。

問題

次の数のうち、大きい方を答えなさい。
√120、11

どのように比べればよいのでしょうか。

解説

今回の問題の答えは、「11」です。

数の大小を比較する際は、形をそろえて考えることがポイントです。

ここでは二つの方法で確認していきます。

ルートを使って比較する

11は平方根を使って表すことができます。

11×11=121より、
11=√121

したがって、比較する数は次のようになります。

√120と√121

平方根では、中の数が大きいほど値も大きくなります。

120<121なので、
√120<√121

つまり、√120より11の方が大きいことが分かります。

よって、答えは「11」です。

ルートを使わずに比較する

次に、√120のおおよその値を求めて比較してみます。

120
=2×2×2×3×5

よって、
√120
=√4×√(2×3×5)
=2×√2×√3×√5

さらに

√2=1.41・・・
√3=1.73・・・
√5=2.23・・・

したがって、
√120
≒2×1.41×1.73×2.23
=10.87・・・

したがって、√120は約10.87であり、11の方が大きいと分かります。

ただし、この解き方は√2、√3、√5などの近似値を知っている必要があり、それらを掛け算する手間もあります。

そのため、現実的にはこの解き方を利用することは少ないでしょう。（問題の数値次第で、こちらの方法が良い場合もあります）

まとめ

平方根と整数の大小を比べるときは、形をそろえて考えることが大切です。

整数を√の形に直す方法や、近似値を求める方法などがあります。

状況に応じて方法を使い分けられるようにしておきましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」

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