工夫して20秒で計算してみて！「(2^24)÷(16^6)」→暗算できる？

累乗の計算をするとき、指数が大きいと「難しそうだなあ」と思ってしまいますよね。

しかし、指数が大きいのにもかかわらず、簡単に答えが出てしまう累乗問題もあります。

今回出題される式も、工夫次第で暗算が可能ですよ。

問題

次の計算を暗算でしなさい。
(2^24)÷(16^6)

※制限時間は20秒です。

解答

正解は、「1」です。

シンプルな答えになりましたね。

実は、この問題の答えを出すために、大きな指数を持つ2^24や16^6を直接計算する必要はありません。

では、どうすればよいのでしょうか？

次の「ポイント」で、簡単に計算するための工夫の仕方を確認してみましょう。

ポイント

この問題のポイントは「割り算を2^▲÷2^■の形に変形すること」です。

まず、累乗とは何かを復習しておきましょう。

累乗は、同じ数を何個か掛け合わせる計算のことです。掛け合わせる個数は、指数で表します。

なお、本来指数は掛け合わせる数の右上に小さく書くのですが、上付き文字が使えないテキストでは^を使って表現することがあります。

この記事でも、指数表現には^を使っています。

例えば2^3は、2を3個掛け合わせるという意味の式です（3が指数）。よって、次のように掛け算に直して計算できます。

2^3
=2×2×2
=8

さて、今回の問題は次のような形をしています。

(2^24)÷(16^6)

これは「2を24個掛け合わせた数」を「16を6個掛け合わせた数」で割る式です。

しかし、2^24と16^6を掛け算に直して計算するのは、かなり大変です。

そんなときは、まず割り算を次のように変形できないか、考えてみてください。

〇^▲÷〇^■
累乗の「掛け合わせている数」を共通にする

今回は、「割る数16^6」を「割られる数2^24」に合わせ、2^■の形になるようにしていきましょう。

まず、16を次のように2の掛け算ベースで表します。

16
=4×4
=2×2×2×2

16^6は、この2×2×2×2（2を4個掛け合わせた数）を、さらに6個掛け合わせる式です。

16^6
=(2×2×2×2)^6
=(2×2×2×2)×(2×2×2×2)×(2×2×2×2)×(2×2×2×2)×(2×2×2×2)×(2×2×2×2)

結局、2は全部で4×6=24個掛け合わされています。よって、16^6=2^24が成り立ちます。

16^6
=(2×2×2×2)×(2×2×2×2)×(2×2×2×2)×(2×2×2×2)×(2×2×2×2)×(2×2×2×2)
=2^24

この変形した数を、元の式に当てはめると…。

(2^24)÷(16^6)
=(2^24)÷(2^24)

今回の割り算は同じ数÷同じ数の形をしていたことが分かります。

同じ数の割り算の答えは、（計算不可の0÷0を除いて）1になります。

(2^24)÷(2^24)
=1

このように考えると、ややこしい累乗の計算をしなくても答えを求めることができますね。

まとめ

今回の問題では、割る数を2^▲の形に変形することで割り算が簡単になりました。

変形の過程を一般化すると、次のようになります。

a≠0でmとnが整数のとき(a^m)^n=a^(m×n)
※文字式では×記号を省略しますが、ここでは分かりやすいようにm×nと表記しています。

これは指数法則と呼ばれる法則の一種です。この法則を使うと、16^6は(2^4)^6=2^(4×6)=2^24と変形できることが分かります。

指数法則によって累乗の計算が簡単になるケースは多いです。他の指数法則についても、ぜひ調べてみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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