大人が意外と解けない数学「√11760」→根号内の数をできるだけ小さな整数にすると？

2025.10.12

「二乗するとXになる正の数」を√Xと表します。

この「√（ルート）」を含む数は、根号の中の数をできるだけ小さくして表すことができます。

「√4=2」「√9=3」などはすぐに求められますが、大きな数になると少し工夫が必要です。

今回は、ルートの中の数をできるだけ簡単にする問題に挑戦してみましょう。

問題

根号内の数をできるだけ小さな整数にして表しなさい。
√11760

根号の中が大きな数なので、少し複雑に見えます。どのように整理すれば良いでしょうか。

解説

今回の問題の答えは「28√15」です。

この答えを導くには、次のように計算をします。

11760を素因数分解すると
11760=2×2×2×2×3×5×7×7

√11760
=√(2^4×3×5×7^2)
=√(2^4)×√(7^2)×√(3×5)
=4×7×√15
=28√15

ポイントを確認してみましょう。

素因数分解

まずは11760を素因数分解します。

素因数分解とは、整数を素数だけの掛け算で表すことです。

小さい素数から順に割り算をしていくと、次のようになります。

11760=2×2×2×2×3×5×7×7

これで、どの部分が二乗の形になっているかが分かります。

根号を外す

根号を用いて表された数は「2乗すると◯（根号内の数）になる正の数」ということになります。

例えば、
√4=2（「二乗すると4になる正の数」は2）
√9=3（「二乗すると9になる正の数」は3）
√25=5（「二乗すると25になる正の数」は5）

√(a^2)=a（ただしaは正の数）

素因数分解をしたことによって、「根号を外すことができる部分」が分かります。

11760=(2×2)×(2×2)×3×5×(7×7)

上記のように、二乗（同じものを二回掛け算）を作ると、この部分は根号を外すことが可能です。

√11760
=√(2×2)×√(2×2)×√(7×7)×√(3×5)
=2×2×7×√15
=28√15

したがって、答えは「28√15」となります。

まとめ

ルートの中の数を小さくするには、まず素因数分解をして、二乗になっている部分を見つけることが大切です。

二乗の組を外に出し、残りを根号の中に残せば、見やすく整理された形になります。

ルートの計算は、中学数学でも基本になる内容です。しっかり復習しておきましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」

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