意外に間違える人が多いかも…？「ルート5と3」→どっちが大きい？

算数や数学では、複数の数の大きさを比べる問題がよく出題されます。

今回は√付きの数と整数の大きさを比べてみましょう。

√とはどんなときに使う記号だったかを考えると、比較方法が見えてきますよ。

問題

次の二つの数、どちらが大きいですか。
√5と3

正解は、「3」です。

5は3より大きいため、一見すると√5のほうが大きいと感じてしまいがちですが、√の意味が分かれば、これは間違った考え方だと分かりますよ。

それでは、次の「ポイント」で、√付きの数と整数を比べる方法を確認してみましょう。

この問題のポイントは、「二つの数を比較しやすい形に変形すること」です。

まず、√という記号の持つ意味を確認しておきましょう。

√a（a>0）は、二個掛け合わせる（二乗する）とaになる正の数
√a×√a=a

今回の問題に出てくる√5という数は、二個掛け合わせると5になる数であり、√5×√5=5が成り立ちます。

なお、√の中の数によっては、整数に直せる場合もあります。例えば、√4は二乗すると4になる正の数で、これは2のことです（2×2=4）。よって、√4=2が言えます。

一方、二乗して5になる整数はありませんので、√5は整数には直せません。しかし、比較対象の整数3を√付きの数に直すことはできます。

3を√付きの数で表すには、まず3を二乗します。3×3=9なので、√9=3が成り立ちますね。

3×3=9なので、
√9（二乗すると9になる正の数）=3

さて、√付きの数には、次のような性質があります。

a>0、b>0のとき、a<b⇔√a<√b

これは、√の中の数の大小と、√付き数の大小は一致するということです。

先の変形で、3は√9になりました。そのため、比較対象は、√5と3から、√5と√9になっています。中の数を比べると5<9ですから、√5<√9（=3）もいえます。

5<9だから√5<√9
√9=3なので
√5<3

これで、大きいのは3の方だと分かりましたね。

なお、5と9は√5と3をそれぞれ二乗した数なので、この解法は次のようにまとめることができます。

<√aと整数bの比較>
√a>0、b>0のとき
√aとbを二乗した数の大小を比較する。
√a×√a<b×bならば、√a<bが成り立ちます。

今回の問題は、√の意味や特徴を利用することで答えが分かります。

特に大事なのは、次の√の性質です。

a>0、b>0のとき、a<b⇔√a<√b

この性質を利用することで、√付きの数と整数との大きさ比べができるようになります。

なお、今回の問題のように、√付きの数は二乗すると扱いやすくなることが多いです。ぜひ、√が登場するいろいろな問題に触れて、√の扱い方に慣れてください。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

スピード勝負！他の問題にも挑戦しよう！

【脳トレ】角度を求める方法、覚えてる？→意外と忘れがちな『図形問題』特集