意外に間違える人が多いかも…？「100^0」→正しく計算できる？

昔習った算数や数学の知識は、使わないとどんどん忘れてしまいます。

せっかく習ったことを、ただ忘れてしまうのはちょっともったいないですね。

たまには、クイズ感覚で問題にチャレンジし、懐かしい記憶を呼び戻してみませんか？

問題

次の計算をしなさい。
100^0

正解は、「1」です。

この問題は、指数が0であるとき(a^0（a≠0）)の答えは1だと分かっていれば正解できます。

しかし、どうして指数0だと答えが1になるのか、不思議に思う人もいるでしょう。

次の「ポイント」では、丸暗記しなくてもa^0の答えが分かる方法をご紹介します。

この問題のポイントは、「指数の変化と答えの規則性を考えること」です。

まず、指数とは何かを明確にしておきましょう。

指数とは、「その数を何個掛け合わせるか」表した数字です。例えば、2^3という式では^3が指数を表しており、式の意味は「2を3個掛け合わせること（2×2×2）」になります。

指数は本来、掛け合わせる数の右上に小さく書きますが、上付き文字が使えないテキストでは、^を使って表します。この記事でも指数を表すのに^を使っています。

さて、今回の問題は次のような形をしていました。

100^0

先の指数の説明に沿えばこの式は「100を0個掛け合わせる」という意味だから、「100が全くないので、答えは0？」と考えてしまいそうですよね。しかし、正解は1です。

これはなぜなのでしょうか。

まずa^0はa×0とは全くの別物だということを押さえておきましょう。これは、2^3=2×2×2であり、2×3ではないことと同じです。

（a≠0のとき）a^0=1
※a^0はa×0とは別物！

ここで、指数が減ったときの答えの変化を見てみましょう。

指数が3のとき:100^3=100×100×100=1000000
指数が2のとき:100^2=100×100=10000
指数が1のとき:100^1=100×1=100
指数が0のとき:100^0=?

100^3と100^2を比べてみてください。指数が3から2に減るのにともなって、×100が一つ分減っています。

この×100が一つ減ることは、÷100をしているのと同じです。実際100^3の答え1000000を100^2の答え10000で割ると、答えは100になります。

100^3÷100^2=1000000÷10000=100

さらに、100^2と100^1を比べてみましょう。指数が2から1に減ると、答えは10000から100になります。これは式から×100が一つ減ったためです。先ほどと同じく、100^2の答え10000を100^1の答え100で割ると100になります。

100^2÷100^1=10000÷100=100

これと同じことが、100^1と100^0にも言えるはずです。つまり100^1=100を100^0で割ると、答えは100になるのです。このような100^0の答えを考えると、1という数字が出てきますね。

100^1÷100^0=100÷?=100
⇔100^0=?=1

こうして考えれば、100^0=1だということが納得できるのではないでしょうか。

同じ数を何個か掛け合わせる計算のことを「累乗」といいます。今回は、指数が0の累乗の答えを求める問題にチャレンジしました。

基本的に、「a^0（a≠0）の答えは1である」ことを覚えておけば、計算するのに支障はないはずです（これはaがどんなに大きな数でも同じことが言えます）。

ただ、あまり指数の計算をしていないと、この基本を忘れてしまうこともあるでしょう。0を掛ける掛け算と混同して、答えを0としてしまう危険性もあります。「どうして指数が0だと答えが1なのか」という理由を理解しておくと、ど忘れしても自分で0乗の答えを導くことができますよ。

このシリーズでは累乗の計算問題も用意していますので、引き続き挑戦してみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。